u(t) = us± Kc (r (t) – ym (t)) (6.137)
donde u = señal de salida del controlador
us = constante, señal de salida del controlador al E.E. (cuando el r = ym, P = Ps)
r = setpoint
ym = señal medida del proceso desde el transmisor
Kc = ganancia proporcional
Fig. 6.14 Controlador proporcional
La Ec. (6.137) esta escrita en términos de variables totales. Si estamos tratando con variables de desviación, simplemente eliminamos el término ps. La transformada de Laplace da:
U(s) = ± Kc (R (s) – Ym (s)) = ± Kc E(s) (6.138)
donde E = señal de error = R – Ym
Reacomodando para conseguir la salida sobre la entrada da la función de transferencia GC(s) para
el controlador.
Así, la función de transferencia para un controlador proporcional es simplemente una ganancia. Sin importar el mecanismo en sí y la potencia que lo alimenta, el controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable. En la Fig. 6.15; se puede ver un diagrama de bloques de este controlador.
Fig. 6.15 Diagrama de Bloques de un Controlador Proporcional
La ganancia del controlador proporcional es la relación que existe entre la variación de la señal de salida y el error que la produce, es decir, es la variación en la señal de entrada. El controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable.
En lugar de la ganancia, muchos controladores emplean la denominada banda proporcional que es la inversa de la ganancia, según la fórmula:
BP % = (100/K)% (6.140) y cuya definición es:
Banda proporcional es el porcentaje de variación de la variable controlada necesaria para provocar una carrera completa del elemento final de control. Por ejemplo, en el caso de un instrumento de escala 0 – 200 oC, en el que basta una variación de temperatura de 50 oC para dar lugar a una carrera completa de
la válvula de control, la correspondiente banda proporcional es de
En los instrumentos de control industrial la banda proporcional oscila del 1% al 500%, y solo en casos muy espaciales los valores son mayores.
Ejemplo 6.13
Un controlador proporcional se usa para controlar temperatura dentro del rango de 60 a 100 oF. El
controlador se ajusta de tal manera que la presión de salida vaya desde 3 psi (válvula completamente abierta) hasta 15 psi(válvula completamente cerrada) a medida que la temperatura medida va desde 71 a 75 oF con el “set point”mantenido constante. Encontrar la ganancia y la banda proporcional.
Ahora asumimos que la banda proporcional del controlador es cambiada a 75 por ciento. Encontrar la ganancia y el cambio de temperatura necesario para causar que la válvula vaya de completamente abierta a completamente cerrada.
∆ T = (banda proporcional)(rango)
= 0,75 (40oF)
Control encendido-apagado (on-off). El controlador más simple podría ser un controlador encenido- apagado. En este sistema de control el actuador tiene sólo dos posiciones fijas, que en muchos casos son, simplemente conectando y desconectando.
Un ejemplo de esta acción de control lo constituye una válvula que actúa como un interruptor; si la ganancia proporcional es muy alta la válvula se moverá de una posición extrema a la otra (enteramente cerrada a enteramente abierta).
Fig. 6.16 Acción “ON”/ “OFF”
Esta acción muy sensible es llamada acción encendido-apagado “ON/OFF” debido a que la válvula estará enteramente abierta “ON” o enteramente cerrada “OFF”. La válvula en este caso actúa como un interruptor. La anchura de banda de un controlador “ON/OFF” es aproximadamente igual a cero.
El Controlador de dos posiciones es simple y económico razón por la cual se usa en muchos sistemas de control tanto domésticos como industriales.
Sea:
u(t) = señal de salida del controlador. e(t) = señal de error.
En un controlador de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor máximo o mínimo, según sea la señal de error positiva o negativa, de manera que:
u(t) = U1 para e(t) > 0
Fig. 6.17 (a) y (b) Diagramas de Bloques de Controladores de Dos Posiciones
Donde U1 y U2 son constantes. Generalmente el valor mínimo de U2 puede ser, o bien cero, o -U1. En
general los controladores de dos posiciones son dispositivos eléctricos, donde habitualmente hay una válvula accionada por un solenoide eléctrico. El rango en que la señal de error debe variar antes que se produzca la conmutación, se denomina zona muerta o brecha diferencial como se indica en la Fig. 6.17(b). Este es un controlador simple y es ejemplificado por el termostato de un sistema de refrigeración. Tal brecha diferencial hace que la salida del controlador u(t) mantenga su valor hasta que la señal de error haya rebasado ligeramente el valor 0.
Offset.. El “offset” es una característica indeseable inherente al control proporcional. Consiste en la estabilización de la variable en un lugar no coincidente con el punto de consigna, después de
presentarse una perturbación en el sistema. Inicialmente parece un contrasentido que la variable no se estabilice en el punto de consigna, ya que da la impresión que el controlador no controla, puesto que, aparentemente, lo lógico es que al fijar un punto de consigna la variable vuelva al mismo después de una perturbación.
Veremos con dos ejemplos sencillos el porque se produce el “offset” debido a las características propias del controlador proporcional.
Sea el control de nivel de la Fig. 6.18, realizado mediante una válvula autorreguladora de flotador en la que el flotador está ligado a la válvula mecánicamente. En el supuesto de que el caudal de salida sea igual al caudal de aportación, el nivel se mantendrá en un valor estable que suponemos es igual al punto de consigna. Si en un momento determinado aumenta el caudal de salida por una mayor
demanda, el nivel bajará hasta estabilizarse en un nuevo valor, tal que el caudal mayor de entrada por la nueva posición de la válvula de control iguale al caudal de salida. Debido al enlace mecánico entre la válvula y el flotador, el mayor caudal de aportación sólo puede obtenerse con un descenso del nivel que equivaldrá al “offset”.
Fig. 6.18 Control de nivel
En el intercambiador de calor de la Fig. 6.19, suponemos que inicialmente la temperatura coincide con el punto de consigna de 100 0C. Al cabo de un tiempo se presenta un cambio de carga,
originado, por ejemplo, por un aumento en el consumo de fluido caliente, por apertura simultánea de mayor número de válvulas de consumo.
Nótese que la temperatura no vuelve al valor de consigna, sino que la misma se estabiliza a los 90
oC. Es obvio que la temperatura final difiere de la primitiva, puesto que se así no fuera, por las
características del control proporcional, la posición de la válvula sería la inicial, lo cual es imposible ya que en esta posición se ha presentado la disminución de temperatura inicial y existiría el absurdo de mantener la misma temperatura de salida con la válvula de control en la misma posición, dando el mismo paso de caudal de vapor tanto para el consumo de agua caliente en el régimen inicial como para el aumento de este consumo.
La desviación puede eliminarse reajustando manualmente el punto de consigna; no obstante, si vuelven a cambiar las condiciones de servicio volverá a presentarse el “offset”. De aquí que el control proporcional solo puede aplicarse si las condiciones de servicio no varían y son estables o si la
presencia del “offset”en la variable es perfectamente admisible, tal como ocurre, por ejemplo, en el caso del control de nivel de un tanque intermedio en un proceso de fabricación; no importará demasiado que el nivel se estabilice en el 45 % aunque el punto de consigna sea 50 % del nivel del tanque.