176
Abadías et al. (2006) establecen tres requisitos básicos, donde dichas funciones no deben contemplar la posibilidad de que:
- Existan tiempos entre eventos negativos
- Existan ciclos excesivamente cortos. Debido a la naturaleza del evento que se está analizando, para que se produzca un sismo grande debe haber transcurrido un periodo largo de acumulación de esfuerzos. Por lo que debe existir una cierta relación entre el tiempo de recurrencia entre eventos y la magnitud del mismo. A esto se lo llama
sombra de esfuerzos.
- La probabilidad de que se produzca una duración mucho mayor o mucho menor que la media sea constante o creciente.
Las tres distribuciones estadísticas más usadas y que cumplen las tres condiciones anteriores son la Lognormal (Patel et al. 1976; ej. Nishenko y Buland, 1987), Gamma (Jambunathan, 1954) y Weibull (ej. Hagiwara, 1974). También hay distribuciones derivadas de modelos físicos numéricos que suelen ser empleadas, como Brownian Passage Time (Matthews et al. 2002), el Modelo Minimalista (Vázquez-Prada et al. 2002; 2003) y el Modelo de Caja (Abadías et al. 2006).
De todas las distribuciones que pueden ser utilizadas, para este ejemplo aplicaremos la distribución Brownian Passage Time. Esta distribución ha sido usada, entre otros casos, para caracterizar la peligrosidad sísmica dependiente del tiempo en Italia (Azzaro et al. 2012, Pace et al. 2008) y en California (WGCEP 2003; Parsons 2008) y es la función de distribución derivada de modelos físicos numéricos, más usada en la literatura.
Estimación de la peligrosidad mediante modelos con dependencia temporal
177
7.2
BROWNIAN PASSAGE TIME (BPT)
Esta distribución de probabilidad de ocurrencia de un sismo o de ruptura en la falla, en función del tiempo, incluye perturbaciones brownianas al aumento constante de la carga tectónica y produce una variación estocástica del estado de la misma en el tiempo. Se asume que la ruptura ocurre cuando este proceso alcanza el umbral crítico de la falla, relajándose hasta el nivel mínimo y dando comienzo así a un nuevo ciclo sísmico. El proceso de aumento o estado de carga con el tiempo sigue la distribución de un oscilador de relajación browniano.
7.2.1
OSCILADOR DE RELAJACIÓN BROWNIANO
El estado de carga puede estar asociado con la deformación elástica acumulada, como se propuso originalmente por Reid (1910), así como con el estado de otras variables físicas, como el déficit de momento sísmico acumulado o el esfuerzo acumulado. También podría representar la historia de esfuerzos de Coulomb en el lugar donde se inicia la ruptura al finalizar un ciclo sísmico (Toda et al. 1998). En esta coyuntura, el estado de carga es simplemente un representante formal del potencial de ruptura.
El oscilador de relajación se plantea del siguiente modo:
Y0(t) representa el estado de carga en un tiempo t, midiendo la carga en un estado posterior Xo.
𝑌𝑜(𝑡) =𝑥𝑜+𝑋(𝑡) [7.2]
donde
Xo es el estado de carga original, X(t) ≡ λt es una función que mide la carga acumulativa aplicada desde el tiempo cero hasta el tiempo t y donde λ es la tasa de acumulación de carga con el tiempo, tomado éste como una constante.
Para efectuar una descripción estadístico-mecánica del ciclo sísmico, se supone que los estados fundamentales de carga (en el origen Xo y en el momento de la ruptura Xf) permanecen fijos, mientras que el proceso de carga está sujeto a perturbaciones aleatorias. La componente estocástica de la carga acumulada se obtiene añadiendo a Xo(t) un término de perturbación aleatoria, ε(t):
Capítulo 7
178
La única fuente de variación en los intervalos de recurrencia es el término de perturbación,ε(t)
en la ecuación [7.3]. El término de perturbación ε representa la suma total de todos los factores que regulan la ruptura eventual de la fuente fuera de la periodicidad perfecta. Físicamente, estos factores pueden referirse a los efectos de otros terremotos que tienen lugar en las proximidades de la fuente, las variaciones de carga y la presión de poro entre otros. El aumento de carga con el tiempo puede expresarse entonces de la siguiente manera:
𝑋(𝑡) =𝜆𝑡+ 𝜎𝑊(𝑡),𝑡 ≥0 [7.4]
donde W(t) es el movimiento browniano estándar que se integra con incrementos estacionarios por medio de una función gaussiana de media 0 y varianza constante, y σ es el parámetro que escala la perturbación (σ ≥0).
7.2.2
DISTRIBUCIÓN BPT
La función de densidad de probabilidad BPT en función del periodo de recurrencia y del coeficiente de aperiodicidad tiene la siguiente expresión:
𝑓(𝑡;𝜇,𝛼) = �
2𝜋𝛼𝜇2𝑡3∙ 𝑒
(−(2𝜇𝛼2𝑡𝑡−𝜇)2)
[7.5]
Esta densidad tiene distintos nombres en la literatura, como gaussiana inversa (ya que su función generadora acumulada es la inversa de la función generadora acumulada de Gauss), o distribución Wald.
Un parámetro que ayuda a entender cómo actúan los modelos de distribución dependientes del tiempo en la peligrosidad sísmica es la tasa de peligrosidad o Hazard rate H(t). Este parámetro mide la tasa de peligrosidad de la falla en función del tiempo y se obtiene a partir de las funciones de densidad y de distribución, de la siguiente manera:
𝐻(𝑡) =1−𝐹(𝑡)𝑓(𝑡) [7.6]
En la Figura 7.1 se muestra un ejemplo de cómo actúa la distribución BTP y algunas de las distribuciones estadísticas más usadas.
Figura 7.1. Tasa de peligrosidad en función del tiempo para diferentes distribuciones.
0.E+00 1.E-01 2.E-01 3.E-01 4.E-01 5.E-01 6.E-01 7.E-01 0 5 10 15 20 25 H(t ) Tiempo BPT Exponencial Gamma Lognormal Weibull
Estimación de la peligrosidad mediante modelos con dependencia temporal
179 Como puede observarse en la Figura 7.1, la horizontalidad de la distribución exponencial (caso poissoniano) supone que no aumenta la peligrosidad con el tiempo. Las tres distribuciones empíricas (Lognormal, Gamma y Weibull), muestran tres tendencias diferentes: las dos primeras muestran un incremento significativo de la peligrosidad en un primer tramo (hasta tiempo 10) y luego una desaceleración significativa en el siguiente tramo. La tercera distribución (Weibull) muestra un aumento continuo y constante con el tiempo.
La distribución BPT (Brownian Passage Time), única distribución representada que se basaen modelos físicos numéricos, tiene una gran semejanza con la distribución Lognormal. Esta distribución se caracteriza por considerar que la probabilidad de que se produzca una ruptura inmediata al comienzo del ciclo sísmico (t=0) es nula H(t)=0. La tasa de peligrosidad aumenta de manera continua desde 0 a t. Alcanza un máximo cerca del tiempo medio de recurrencia y después disminuye hasta obtener una distribución asintótica a un nivel casi estacionario, de valor h=(2μσ2)-1(Chhikara y Folks 1977), en el que la probabilidad condicional de un evento se hace independiente del tiempo. Este comportamiento distingue a la familia BPT de una distribución Lognormal (donde la tasa de peligrosidad asintótica es siempre cero).
El coeficiente de aperiodicidad proporciona a la distribución información sobre cómo actúan las perturbaciones al ciclo sísmico. En la Figura 7.2 se muestra la forma de la función de densidad de probabilidad y la tasa de peligrosidad para diferentes valores de aperiodicidad. Los valores pequeños de α corresponden a densidades casi simétricas con marcada tendencia central cerca del valor medio del periodo de recurrencia. Los valores más grandes de α, producen densidades altamente sesgadas a la derecha y que alcanzan su máximo valor a la izquierda de la media.
Figura 7.2. Función de densidad BPT y tasa de peligrosidad para distintos coeficientes de aperiodicidad.
0.E+00 5.E-02 1.E-01 2.E-01 2.E-01 3.E-01 3.E-01 4.E-01 4.E-01 0 10 20 f(t ) Tiempo α=1/4 α=1/2 α=1 0.E+00 5.E-01 1.E+00 2.E+00 2.E+00 0 10 20 H(t ) Tiempo α=1/4 α=1/2 α=1
Capítulo 7
180
7.3
APLICACIÓN A LA FALLA DE CARBONERAS
Se ha desarrollado una estimación de la peligrosidad sísmica incluyendo un modelo BPT de tiempo en la falla de Carboneras, segmento (1/2). Esta fuente sísmica corresponde con la falla más rápida y grande de la región. Si se analizan los resultados de peligrosidad obtenidos anteriormente, se puede apreciar que es la fuente sísmica que más contribuye a la peligrosidad en su entorno, proporcionando los valores de aceleración más altos de la región de estudio para todos los periodos de retorno estudiados.
Los modelos con tiempo, suelen ser aplicados con modelos de recurrencia en magnitud tipo Terremoto Característico (TC), sin embargo, también pueden encontrarse en la literatura combinaciones con modelos de GR o modelos mixtos entre TC y GR (Pace et al. 2008). En este caso, se considerará que la falla puede romper según el modelo GR obtenido anteriormente con la metodología híbrida propuesta en esta tesis. Para simplificar el modelo, se supondrá un modelo de recurrencia que discretice la magnitud en intervalos de 0.5 grados, y no cada 0.1, grados como se hizo en el ejemplo anterior. Esto facilitará la asociación de sismos de referencia para cada intervalo de magnitud a la hora de identificar el momento del ciclo sísmico en el que se encuentra la falla.
Al usar un modelo de GR, se supondrá que la probabilidad de que ocurra un sismo estará condicionada por: la recurrencia de sismos de esa magnitud en la falla, el coeficiente de aperiodicidad y el periodo que ha trascurrido desde el último evento de esa magnitud. Esto significa que, según este planteamiento, los eventos de distinta magnitud no proporcionan modificaciones en las probabilidades de ocurrencia de eventos de una magnitud diferente, por lo que se trata de una forma de aplicar un modelo temporal con ciertas limitaciones.
7.3.1
PERIODO DE RECURRENCIA Y COEFICIENTE DE APERIODICIDAD
El periodo de recurrencia medio asociado a cada rango de magnitudes puede identificarse como la inversa de las tasas simples de sismos de cada rango de magnitud. De acuerdo con la nueva discretización del modelo GR (rangos de magnitudes de 0.5), estas tasas pueden ser obtenidas a partir de la tasa acumulada de sismos de magnitud mayor o igual a 4.0 (Ṅ(4.0)=0.3103) y del valor de beta (β=2.180) obtenidos en la falla.
En este punto, es necesario recordar que estos valores (Ṅ(4.0) y β) se han ajustado partiendo de la tasa de deslizamiento y tamaño de la falla, así como de la tasa de momento sísmico observada en la región. Dicha tasa se obtuvo por medio del catálogo de proyecto, es decir un