3.1 MODELOS HIDRAÚLICOS
La Hidráulica, hoy en día una ciencia básica de la ingeniería, estuvo durante mucho tiempo basada en resultados empíricos obtenidos de anteriores obras hidráulicas. Con el desarrollo paulatino de teorías y técnicas desarrolladas tanto en modelos reducidos como en modelos matemáticos, ha cambiado esta orientación empirista. Como muchas veces una descripción matemática de los fenómenos hidráulicos es muy complicada o imposible al menos por ahora, dado el estado del conocimiento humano, se hace necesaria la experimentación en modelos hidráulicos a escala reducida, los que además son útiles para la calibración de los modelos matemáticos.
El modelo hidráulico es una ayuda importante para el diseño de las obras hidráulicas difíciles de analizar por medio de un modelo matemático, siempre y cuando el diseño de un modelo reducido sea correcto, está bien operado y los resultados sean interpretados con sentido crítico.
El objetivo final de una investigación en un modelo hidráulico es mejorar las situaciones desfavorables existentes en el prototipo (la estructura hidráulica al tamaño natural), o ayudar en el diseño de obras hidráulicas para encontrar una solución, sin riesgos de fallas completas o parciales, de las obras que se van a construir.
Los costos de la investigación en modelos hidráulicos reducidos no suben más del 0.75% del costo del proyecto de la realidad, y casi siempre la ejecución del modelo justifica su mismo valor por disminución de los riesgos en la ejecución u operación de la obra, por ganancia de tiempo en la ejecución de la misma, por la comprensión que proporciona del funcionamiento del prototipo, o por las valiosas recomendaciones que pueden surgir para su diseño.
En cuanto a la situación del Laboratorio de la Facultad de minas en el campo de investigación, se cuenta con los elementos materiales fundamentales, ya sea en aquél o en otros de la sede, cuando se requieran aparatos de medida muy complejos, la investigación pura dependería en gran parte de la calidad y de la mística de los técnicos que hagan parte del laboratorio, y de la relación que exista entre ellos y los técnicos dedicados a la práctica profesional, pues esos últimos pueden señalar las necesidades.
Con respecto a la investigación aplicada: dependería en gran parte del estímulo y oportunidades de trabajo que se den al laboratorio (como elemento que relaciona a la Universidad con la sociedad), de las entidades oficiales, semioficiales y de las firmas de ingenieros dedicados a las prácticas de la ingeniería, tanto en el diseño como en la construcción.
Uno de los notables descubrimientos de Newton fue la Ley de la Gravitación Universal, según la cual si dos cuerpos tienen masa, cuando están cerca uno del otro hay una fuerza de atracción entre ellos. Así, por ejemplo, la tierra atrae a la luna y el sol a la tierra. Para estos propósitos, lo importante de esta ley es que nos indica, en primer lugar, que la fuerza entre los cuerpos depende de la distancia entre ellos. No da lo mismo tener dos cuerpos muy cercanos uno del otro que muy separados. Mientras mayor sea la distancia entre los cuerpos menores, será la fuerza entre ellos, ya que ha medida que las distancia entre dos cuerpos sea mayor, menor será el efecto que uno ejerza sobre el otro.
3.1.2 LEYES DE SIMILITUD
En segundo lugar, la ley de la gravitación universal nos indica cómo depende la fuerza de la distancia de un metro y la fuerza tiene determinado valor. Si la distancia entre estos mismos cuerpos aumenta al doble, o sea a 2m, entonces la fuerza disminuye a la cuarta parte. Si la distancia aumenta el triple, o sea a 3m, la fuerza disminuye a la novena parte, etc.
La cuarta parte de la fuerza es igual a º; pero 4 es igual a 22, o sea, 2 elevado a la
potencia 2; por lo que la cuarta parte es igual a ½ 2.
La novena parte de la fuerza es igual a 1/9; pero 9 = 32, o sea, 3 elevado a la potencia
2; por lo que la novena parte es igual a 1/32, etc. En consecuencia: si la distancia aumenta 3
veces, la fuerza disminuye 1/32 veces; si la distancia aumenta 4 veces, la fuerza disminuye
1/42veces, etc.
Esto último se expresa diciendo que la disminución del valor de la fuerza es como el cuadrado de la distancia. En forma abreviada, usando lenguaje matemático lo anterior se expresa diciendo que la fuerza depende en forma inversamente proporcional al cuadrado de loa distancia. Inversamente quiere decir que al aumentar la distancia disminuye la fuerza.
Ahora bien, si en lugar de haber considerado la distancia en la escala de metros la hubiéramos tomado en la escala de kilómetros, la forma en que varía la fuerza con la distancia no cambia, sigue disminuyendo en razón al cuadrado de la distancia. Si se toma una escala de miles o de millones de kilómetros (como ocurre en el caso del sistema planetario), la dependencia de la fuerza con la distancia sigue siendo la misma. Por tanto, como el mismo comportamiento ocurre sin importar la escala, éste fenómeno es auto similar.
Existen otros fenómenos en la naturaleza en los que la dependencia de la distancia no es como el cuadrado, que acabamos de considerar, sino que dependen de otra potencia. Además, puede ocurrir que la fuerza no disminuya al aumentar la distancia. Por ejemplo, podemos considerar un resorte: si este se estira sabemos entonces que ejerce una fuerza que trata de regresarlo su posición original (se dice de equilibrio). Mientras mayor sea la distancia que se estire, mayor será la fuerza que el resorte ejerza. Lo mismo ocurre cuando se comprime, mientras mayor sea la distancia en que se comprima, mayor será la fuerza que ejerza.
Además, resulta que: si la distancia aumenta al doble, la fuerza aumenta al doble; si la distancia aumenta a triple, la fuerza aumenta a triple; etc.
O dicho de otra manera: si la distancia aumenta dos veces, la fuerza aumenta 2 veces, si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza aumenta 3 veces, etc.
Vemos ahora que el 2, o el 3, son 21 y 31, respectivamente, cantidades elevadas a la potencia
1.
En este caso vemos que la fuerza aumenta como la distancia. Usando lenguaje matemático se abrevia esta información diciendo que la fuerza es proporcional a la primera potencia de la distancia. En este caso también hay auto similitud.
Hemos hablado de la relación entre las fuerzas y distancias. Sin embargo, en muchos fenómenos alguna cantidad depende de una variable (no necesariamente la distancia), ya sea: inversamente, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable disminuye el valor de la cantidad, o bien en forma proporcional, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable aumenta el valor de la cantidad.
Además, la dependencia entre la cantidad y la variable de la que depende puede usarse por medio de alguna potencia, que no necesariamente tiene que ser siempre ni 2 (como en la ley de la gravitación universal) ni 1 (como en el resorte). Puede ser como otro valor numérico, ya sea entero o no.
Cuando la dependencia de una cantidad de su variable es como la que acabamos de explicar se dice que el fenómeno está regido por una ley de potencias. En todos estos casos existe la auto similitud.
3.2 ORIFICIOS Y COMPUERTAS
Considere un recipiente lleno en un líquido, en cuya pared lateral se ha practicado un orificio de pequeñas dimensiones (en comparación con su profundidad H) y cualquier forma, además de un área A. El orificio desgasta un gasto Q cuya magnitud se desea calcular, para lo cual se supone que el nivel del agua en el recipiente permanece constante por el efecto de la entrada de un gasto idéntico a la que sale; o bien porque pose un volumen muy grande. Además, el único contacto con el líquido y la pared debe ser alrededor de una arista afilada como se muestra en la figura. esto es, el orificio es de pared delgada. Las partículas de liquido
en la aproximada del orificio se mueve aproximadamente en dirección al centro del mismo, de modo que, por efecto de su inercia, la deflexión brusca que sufren produce una contracción del chorro, la cual se alcanza a la sección 2A se le llama contraída y tiene una área Ac inferior al
área A del orificio. En ella las velocidades de las partículas son prácticamente uniformes y con un valor medio V.
3.2.1 ECUACIÓN GENERAL DE ORIFICIOS
Suponiendo un plano de referencia que coincida con el centro de gravedad del orificio, la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de una vena liquida, además de considerar despreciable la velocidad de llagada al orificio, co0nduce a la expresión;
g
V
H
2
2=
Donde se ha despreciado el desnivel entre los centros de gravedad del orificio y la sección contraria. De aquí se obtiene
gH
V
=
2
(3.2.1)La ecuación llamada de Torricelli y puede obtenerse de la ecuación de Bernoulli entre dos puntos: uno dentro del recipiente y otro en el centro de gravedad de la sección contraída. Esto es, la ec .(3.2.1) indica que la velocidad sigue una ley parabólica con la profundidad y en este caso la velocidad media V, se calcula con la profundidad media del orificio y corresponde al centro de gravead, no obstante que las velocidades de las partículas arriba de este punto son menores y, abajo, mayores. Esto tendrá por supuesto mayor valides a medida que la sección transversal, no horizontal, del orificio sea mucho menor que la profundadas H del mismo. Es además, los resultados obtenidos de la ec. . (3.2.1) concuerda con lo obtenido experimentalmente solo si se corrigen, mediante un coeficiente Cv llamado de velocidad, en la
forma:
gH
C
V
=
v2
(3.2.2)Donde Cv, coeficiente sin dimensiones muy aproximo a 1, es de tipo experimental y
además corrige el error no considerar la ec. (3.2.1), tanto la perdida de energía
∆hr
, como los coeficientes a1 y a2.Si el área de la sección contraída se calcula en términos de la del orificio, por medio de un coeficiente Cc llamada de contracción (también condiciones), en la forma;
Ac = CcA
Q =
C
vC
vA
2gH
(3.2.3)O bien con Cd =CvCc (coeficiente de gasto), el gasto se le calcula finalmente con la
ecuación general de un orificio de pared delgada, a saber;
Q =
C
dA
2gH
(3.2.4)Conviene calcular que las ecuaciones anteriores se considerado H como el desnivel entre la superficie libre y el centro de gravedad del orificio. Esto resulto de suponer que era despreciable la velocidad de llegada del orificio y la presión sobre la superficie libre corresponde a la atmosférica. Cuando ello no acontece, H corresponde a la energía total; esto es, a la suma de la profundidad del orificio, de la carga de velocidad de llegada y de la carga de presión sobre la superficie del agua: