El punto de partida para la recolección de datos fueron las situaciones matemáticas problema, las cuales se organizaron por bloque (I, II, III) y por nivel (Intra-, Inter- y
Inmersión al campo y recogida de datos
observar las clases de Mecánica Clásica
Selección de sujetos de análisis (S)
S1 S2 S3 S4 … S8
Aplicar los instrumentos y realizar las entrevistar
Reporte para S2 Reporte para S3 Reporte para S4 Reporte para S5 … Reporte para S6 Reporte para S1 Seleccionar pares de discusión
Pareja1 Pareja2 Pareja3
Observar y documentar Observar y documentar Observar y documentar
Cada estudiante elabora su Historieta
Trans-). Una vez resueltos los problemas para cada bloque, se revisaron exhaustivamente las soluciones de cada sujeto. Se centró la atención en los siguientes aspectos:
las características de los esquemas previos que posee cada estudiante que aparece en escena en la solución de cada situación,
las dificultades referentes a su conocimiento previo que enfrenta cuando resuelve las situaciones problema, y
las decisiones por las que optó el estudiante para dar solución a cada reactivo. A partir de las soluciones de los sujetos se realizó la entrevista con cada uno, para indagar sobre sus construcciones. Se profundizó en los siguientes aspectos:
El significado que da el alumno a las variables que están en juego dentro de cada situación, y cómo las relaciona con el comportamiento de la gráfica. Esto con la intención de dimensionar la interpretación que el sujeto tiene sobre el contexto del problema, y entender los significados que otorga a las gráficas que construye.
Reflexiones del sujeto sobre el comportamiento de las variables en valores tales como 0.1, 0.001, 2.00001, 3.55, etc. Esto tuvo doble intención, la primera era indagar sobre los procesos de acumulación de áreas que manifiesta el sujeto en valores fraccionarios, esto es, interpretar si logra construir la idea de acumulación de área más allá de los números enteros que se indican en las instrucciones.
Por otro lado, se indagó si el estudiante es capaz de entender el proceso de acumulación de área como un proceso infinito al recurrir a los infinitesimales; se exploró también si es capaz de visualizar una gráfica continua y no sólo en apariencia discretizada. Para ello fue necesario explorar si el sujeto comprende la idea de que en un intervalo existe una cantidad infinita de números.
Cuestionamientos en diferentes puntos de las gráficas de velocidad, posición, velocidad de enfriamiento y temperatura, con la intención de interpretar cómo el sujeto relaciona las gráficas de la Derivada con la función primitiva.
Diferencias y similitudes entre las gráficas que registra la calculadora graficadora, mediante el sensor de movimiento (y el de temperatura) con la gráfica que obtiene el estudiante. Esto con la intención de conocer los argumentos del estudiante sobre estas similitudes y/o diferencias.
Cuestionamientos en diferentes puntos de las gráficas de temperatura, y cómo se refleja o interpreta esto en la gráfica de velocidad de enfriamiento (igual para las gráficas velocidad y posición), con la intención de observar si el estudiante logró reversibilidad en sus procesos.
Análisis del movimiento del objeto tal como aparece en la videograbación, y de su relación con la gráfica de posición que construye el sujeto. Esto para indagar si el sujeto, inmerso en la situación problema que vivió, logró relacionar e interpretar tal y como fue el movimiento con la gráfica que construyó.
Cuestionar en puntos de la gráficas dónde la velocidad es cero, negativa, positiva, dónde crece, dónde decrece, etc., y esto cómo se refleja o interpreta en la gráfica de posición.
Como se mencionó, las actividades que realizó cada estudiante fueron categorizadas en bloques y éstos, a su vez, en niveles de construcción, como se muestra en la tabla 4.
Tabla 4
Clasificación de los datos
Bloque I Bloque II Bloque III
Actividad 1.1 Actividad 1.2 Actividad 1.3 Actividad 2.1 Actividad 2.2 Actividad 2.3 Actividad 3.1 Actividad 3.2 Actividad 3.3
Intra- Inter- Trans- Intra- Inter- Trans- Intra- Inter- Trans-
En la tabla 4, se observa que las actividades que realizaron los estudiantes se organizaron en tres bloques y en cada uno se clasificaron de acuerdo a los niveles Intra-, Inter-,
Trans-. El motivo principal por el que se desarrollaron tres bloques fue acercar al sujeto al
objeto matemático desde diferentes perspectivas geométricas y contextuales. Como se mencionó en los tres bloques aparecen los niveles de construcción que se definieron para el esquema pero ¿por qué? la razón de esta decisión radica en la forma en como fueron planteadas las acciones que se proponen para acercar al sujeto al objeto matemático
gráfica de la función primitiva. En el bloque I se proponen en su mayoría, acciones para
En el bloque II las acciones van enfocadas a acumular áreas limitadas por gráficas cuyo comportamiento no es constante y en el bloque III se proponen acciones para que el sujeto se acerque al objeto matemático a partir del análisis del comportamiento de gráficas, esto es, a partir de observar la relación geométrica entre la gráfica de la Derivada y su primitiva. Entonces bajo éste panorama las actividades propuestas para los niveles
Inter- y Trans- de cada bloque dan continuidad a sus respectivas acciones.
Las actividades para cada bloque, mencionadas en la tabla 4, se desglosan en los Anexos A, B y C, respectivamente. La justificación de por qué se diseñó así cada actividad y las pretensiones de las mismas se explica a continuación.
BLOQUE I Actividad 1.1
Con esta actividad observó cómo el estudiante construye una gráfica a partir de la suma de áreas. Lo interesante de ésta es que, a partir de la solución de los problemas, se puedo indagar cómo el estudiante extrae información de un fenómeno cotidiano a partir de registros geométricos. La actividad fue diseñada para que el estudiante siga instrucciones, sin embargo, se valoraron las decisiones que con autonomía manifestaba en la solución del problema, sus aportaciones y discernimientos. Respecto al concepto de la Integral, se indagó sobre los significados que para el sujeto tiene la asociación de acumulación de áreas con las ordenadas de una gráfica y cómo logró esos significados a partir de sus construcciones mentales previas.
Actividad 1.2
Con la actividad 1.2 se observó cómo el sujeto extrae (o no) información del objeto área acumulada; además se indagó si logró interiorizar procesos para luego encapsularlos y desencapsularlos para la obtención de la gráfica de la Integral a partir de la acumulación de áreas. También se observó cómo logra (o no logra, en todo caso) activar procesos de reversibilidad e interiorización. Sobre el concepto, se indagó acerca de cómo el estudiante coordina diferentes esquemas, ya sea desde representaciones geométricas, analíticas o numéricas para la obtención de la gráfica de la Integral (o función primitiva). Se describió cómo el sujeto coordinaba construcciones previas con la acumulación de áreas y la interpretación de la gráfica de la primitiva.
Actividad 1.3
Con esta actividad se observó cómo el sujeto generalizó procesos y cómo coordinó las construcciones que posee en la resolución de la situación problema planteada. Con esta actividad se indagó si el sujeto comprendió el significado de la Integral como la gráfica de una función primitiva a partir de su interpretación en la solución del problema.
BLOQUE II
Para el bloque I se diseñaron situaciones problema con la idea de indagar cómo el sujeto construye el concepto de la Integral a partir de registros geométricos desde la acumulación de áreas. En este bloque II la idea prevaleció, sólo que se diseñó con la intención de puntualizar algunos detalles conceptuales que pudieran ser obstáculo para continuar con la actividad que corresponde a la recuperación de la primitiva a partir de su derivada. A diferencia de las actividades del bloque I, en el presente se incluyeron el concepto de razones de cambio, velocidad media e instantánea.
Actividad 2.1
Esta situación problema se diseñó con doble intención, la primera proporcionar algo más de información al estudiante en la cual se puntualicen las construcciones que debió lograr en el bloque I, y la segunda observar sus inferencias respecto a la solución de problemas a partir de la acumulación de razones de cambio. Se esperaba que el sujeto imitara procesos que se indican en la solución de algunos problemas.
Actividad 2.2
Respecto a la parte cognitiva, se esperaba que la situación problema diera cuenta de cómo el estudiante, a partir de su conocimiento previo, encapsula la acumulación de razones de cambio y logra relacionarlas con áreas. Se esperó evidenciar cómo surgieron (o no) en el sujeto los procesos de reversibilidad y encapsulamiento.
Actividad 2.3
Esta actividad fue se indagó si el sujeto logró generalizaciones y qué esquemas mentales trajo a su mente para la solución de la situación problema. Además se observó cómo coordinó diferentes estructuras mentales.
BLOQUE III
La intención de diseñar éste bloque fue para indagar sobre la relación geométrica que establece el alumno entre razones de cambio y resultados acumulados. Se esperaba que, a partir de un análisis cualitativo, el estudiante relacionara la función “razones de cambio” y los resultados de la acumulación de éstas. Para ello se diseñaron situaciones problema que dieron cuenta de las construcciones mentales del sujeto para la comprensión de tal relación y enfaticen sobre la construcción de una función primitiva a partir de su función derivada, todo desde registros de representación geométricos.
Actividad 3.1
Al tratarse de actividades para un nivel de construcción Intra-, se observó que el estudiante imita procedimientos de acuerdo a la información que se le proporcionó para la recuperación de la gráfica de la función primitiva a partir de su Derivada. Se propuso que el sujeto analizara el crecimiento, decrecimiento, si es positiva, negativa, cero de una gráfica que representa a la Derivada y a partir de su comportamiento bosquejó una gráfica de sus primitivas.
Actividad 3.2
De acuerdo con Wenzelburger (1999) en el aprendizaje del concepto de la Integral intervienen dos aspectos complementarios: uno se refiere a la “acumulación gradual de los resultados de los cambios y a la interpretación de este proceso”, y por otro lado “la información que se puede obtener del resultado acumulado” (p. 21). Partiendo de estas ideas, con la Actividad 3.2 se observaron los procesos de disertación del sujeto respecto a la relación geométrica entre la Derivada e Integral y además con esta actividad se pudo observar si el sujeto logró generalizar las acciones en procesos.
Con esta actividad se indagó si los estudiantes lograron la construcción del esquema en un nivel Trans- cuando enfrentaron dos situaciones problema, en donde el punto en común de éstas es que debían recabar datos de cada situación que lo inducirán a tomar decisiones en el momento de resolver el problema. Para éstas debió utilizar un sensor de movimiento y uno de temperatura, y debió extraer datos reales y con ellos dar respuesta a una serie de preguntas.
Otro aspecto interesante de esta actividad es que para la solución de una situación, cada estudiante debió recurrir a procesos de integración y para la otra, debió decidir por el camino para la obtención de la Derivada (lo cual no se ha planteado en estos materiales). Se esperaba que cada sujeto lograra decidir cuál es la ruta adecuada para solucionar cada situación problema desde registros de representación geométricos.