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f(x)=1), pero aún son necesarias indicaciones iniciales para que pueda lograrlo.

En el diagrama de la figura 40 se observan las propuestas que bifurcan hacia la apropiación del concepto de la Integral desde representaciones geométricas. El camino indicado a la izquierda del diagrama corresponde a la acumulación de áreas, y el derecho a la obtención de la función primitiva a partir del análisis de la gráfica de su función derivada. Este último se percibe árido, ya que el sujeto mostró esquemas débiles sobre la graficación e interpretación de funciones, lo que al parecer impidió que avanzara en sus construcciones.

Las respuestas a la actividad 3.1.2 dan cuenta de esta conjetura; la actividad consistió en que el sujeto debía asociar las columnas de la tabla 8. En la primer columna de la tabla, se muestra un conjunto de gráficas que representan la posición de cierto móvil, en la segunda columna aparece un conjunto de gráficas que representan velocidades. El sujeto debió relacionar la gráfica velocidad con su correspondiente gráfica posición.

Tabla 8

Actividad 3.1.2 correspondiente al bloque III

Para esta actividad se proporcionó una explicación breve del significado que tiene en una gráfica primitiva el hecho de que su función velocidad sea positiva, negativa o si cruza el eje horizontal. A partir de esta información, y de observar un ejemplo resuelto, se le solicitó que resolviera la actividad 3.1.2. Nuevamente el sujeto no atendió las instrucciones y, por lo tanto, no realizó la actividad. Además de la explicación anterior, el sujeto contaba con otra información referente a la Integral, ya que se encontraba cursando la materia de Cálculo Integral y, en el momento que resolvió esta actividad, estaba por concluir tal curso.

Es claro que el estudiante no logró entender el concepto de la Integral desde registros geométricos (al parecer tampoco desde los algebraicos), el siguiente diálogo se generó a partir de las respuestas que proporcionó a la actividad 3.1.2:

E: …Aquí nuevamente tienes que relacionar gráficas, …¿cómo lo hiciste?

S5: ¡ja!, ¡ja! La misma idea maestra, Este… no, no bueno, no me vino a la mente, no me acordé o quizás y a lo mejor… y pues más que nada sí fue otra vez igual, al azar, porque… bueno, pues ya trabajando no, no sé relacionarlas a lo mejor.

E: …Y por ejemplo si yo te hubiera dicho que esta gráfica (señala la gráfica de una recta con pendiente -1), tiene ecuación de y= -x, y que es una función velocidad, como lo indica la tabla, la Integral sería la posición, ¿cuál sería su gráfica entonces? Si tú conocieras la expresión a la que obedece esta trayectoria, ¿te sería más simple resolver el problema?

S5: Pues bueno este… lo que pasa es que, por ejemplo, como para obtener, no sé, esta posición (señala la gráfica que corresponde a y=-x), creo que la ecuación debe ser cuadrada. Cuadrada entonces, pero como aquí… (piensa) no, no podía, bueno, no puedo interpretar o no sé interpretar lo que vendría siendo cuál ecuación determina cada figura, podría decírselo así… no, no sé eso, cómo…

Puesto que el estudiante cursaba la materia de Cálculo Integral y la de Mecánica Clásica en el mismo semestre, se le preguntó ¿cuál será la Integral de f(x) = -x?, se aclaró que representaba una función velocidad. No logró responder a tal cuestionamiento para poder asociar con las gráficas que se proporcionaron como respuesta. Al parecer no ha construido esquemas mentales del concepto de la Integral desde ninguna representación del concepto.

Regresando al diagrama de la figura 40, en la vertiente izquierda del diagrama se observa que, cuando el sujeto manipula el objeto matemático cálculo de áreas limitadas

por gráficas, recurre a los esquemas R8, A4 y F10. Para los problemas cuyas áreas están

limitadas por gráficas de la forma f(x) = 1, las dificultades que enfrentó fueron mínimas, lo que le permitió interiorizar las acciones en procesos, para lo cual requirió de los esquemas previos A4, M8, M7, F10.

Dados sus argumentos, al explicar los procesos de solución de las situaciones problema, se considera que el sujeto logró construir el esquema I9, por lo que es capaz de acumular áreas limitadas por la recta f(x)=1. Se reconoce que sus construcciones son limitadas aún, sin embargo, manifiesta logros al respecto.

NIVEL INTER-: Del análisis de los tres bloques, del trabajo individual y de pares, se observa que S5 no logró transitar al nivel Inter- del esquema mental; aunque mostró construcciones a nivel Intra- de acumulación de áreas, no fue capaz de resolver situaciones similares en donde se requiere este conocimiento para dar solución.

Se le presentó la actividad 2.2.1 del bloque II (anexo B), la cual consistió en que, a partir de una gráfica de velocidades, el sujeto debía extraer datos y calcular la distancia que recorre, en determinado tiempo, un autobús de pasajeros. Para ello en la actividad previa, la 2.1.1 del mismo bloque, diseñada para observar construcciones en un nivel Intra-, se había explicado y resuelto una situación problema similar y, desde luego, se esperaba que en la 2.2.1 el estudiante hubiese logrado encapsular el procedimiento de acumulación de áreas. S5 mostró habilidades para interpretar y representar geométricamente los datos de velocidades medias que se le proporcionaron organizados en tabla 9.

Tabla 9

Datos para el problema 2.2.1

Hora Velocidad promedio

(km/hr) 10:00 – 11:00 15 11:00 – 12:00 13.5 12:00 – 13:00 descanso 13:00 – 14:00 14 14:00 – 15:00 13

15:00 – 16:00 12

Los datos de dicha tabla los representó geométricamente en gráfica de velocidades de la figura 41a.

a)

b)

Figura 41. Respuesta a la actividad 2.2.1 de S5.

La gráfica 41b corresponde a un bosquejo de la primitiva, aunque representa también velocidades. Los argumentos del sujeto en la solución del problema son los siguientes:

E: …¿Te acuerdas cómo obtienes ésta gráfica? (se refiere a la primer gráfica de la figura 41a).

S5: Mmm bueno este, creo mmm… sí, creo que fue relacionando lo que era la velocidad con el tiempo, para obtener, más bien para demostrar, para explicar, lo que nos decía la tabla. Entonces creo que aquí (señala la tabla), bueno, como estamos viendo que la velocidad era 15 km, pues estaba representando lo que era la velocidad y el tiempo que duró en esta gráfica.

E: Y entonces aquí, por ejemplo (señala la gráfica 41a)… cero, ¿por qué?

S5: Por eso, es 0 km porque descansó y vuelve a retomar hasta en la hora 3, que sería esto. Y bueno lo que hasta ahorita mmm…

Sin embargo, obtiene una gráfica de velocidades correcta, pero no logra construir la gráfica de distancias del objeto en cuestión. Esto muestra evidencias de que, en esta etapa del trabajo de campo, no ha logrado integrar a sus estructuras mentales el significado geométrico de la acumulación de áreas, ya que la gráfica que explicó y que supuestamente corresponde a las distancias, representa también velocidades medias. Ha logrado acumular áreas imitando procesos, pero no logró construir la gráfica de la función primitiva a partir de tal acumulación, por lo que no se puede afirmar aún que haya construcciones mentales en un nivel Inter-.

Por otro lado, se observó que S5 no posee construcciones que le permitan distinguir la diferencia entre una curva y una gráfica compuesta por segmentos rectilíneos:

E: …Y ésta gráfica ¿representa la velocidad? (señala la gráfica 41) S5: Si.

E: ¿Por qué tus trazos son recta y no curvas?

S5: Lo que pasa, utilizo la regla porque nomás me voy bien chueco, y me salen las cosas muy

mal. Siento como que la mano de plano no me ayuda, y entonces cuando quiero hacer una curva me sale toda deshecha, de hecho ni figura tiene de que sea una curva, pero en sí,

bueno, lo que estaba tratando de representar aquí era una curva, sólo que pues como no mi mano no me ayuda utilizaba la regla.

En el diagrama de la figura 42 se muestra una idea gráfica de los esquemas a los que recurre cuando manipula el objeto matemático cálculo de áreas limitadas por gráficas.

Figura 42. Diagrama que representa las construcciones en el nivel Inter- del sujeto S5.

R8, A4,F10 Acción 1 Acción 2 Objeto No resuelve Acción 3 Objeto Pr oc es o M8 I9, I10 F11, F12 M8 No resuelve Proceso Acumula áreas

(intenta con gráficas que pertenecen a diferentes familias) Gráficas de funciones Suma de áreas limitadas por gráficas

Diagrama III

En sus intentos por resolver las situaciones problema, S5 recurre a los siguientes esquemas mentales.

R8: Posee construcciones suficientes para operar sin dificultad con números reales (sumas,

restas, multiplicaciones).

A4: Posee construcciones aún débiles para calcular áreas de figuras geométricas

(triángulos, rectángulos), ya que fue necesario recordarle cómo calcular el área de las figuras mencionadas para que él pueda continuar sus procesos de solución.

F10: Construcciones suficientes que le permiten identificar sin dificultad las coordenadas

en el plano cartesiano y ubicar las variables que corresponden a cada eje.

M8: Construcciones que facilitan la interpretación del concepto de velocidad media;

además identificó con plena autonomía y sin dificultad cuándo, en una situación problema, se requería calcular velocidades medias.