En el diagrama de la figura 29 se muestran las construcciones del sujeto que surgen en el nivel Intra-. Éste se ubicaría en la primera de las plataformas superiores del diagrama de la figura 28, en donde aparece de manera generalizada el ciclo que propone la teoría APOE. Sin embargo, el diagrama de la figura 29 detalla qué elementos de este ciclo aparecen en las construcciones de S2 y a cuáles esquemas recurre de manera específica para sus construcciones.
A continuación se detalla cómo inicia el sujeto sus construcciones. Se observan en la figura 29 dos caminos para llegar al objeto matemático gráfica de la función primitiva, esto representa los dos enfoques que se estudiaron para llegar al mismo concepto desde registros geométricos. La parte izquierda del diagrama representa la obtención de la gráfica de una primitiva mediante la acumulación de áreas y la parte derecha, al analizar el comportamiento de la Derivada.
El proceso de construcción inicia cuando S2 realiza las acciones 1, 2 y 3 para manipular los objetos matemáticos definidos en la investigación como acumulación de
áreas y gráfica de una función. Entonces, para que esto sea posible, como consecuencia
del mecanismo de adaptación, en su mente se desencadena una serie de abstracciones, tanto de reflejamiento como de reflexión, ya que el sujeto recurrió a esquemas mentales previos, relacionados con el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos (A1), operaciones de sumas, restas, multiplicación de números reales (R1) y esquemas que le permiten ubicar coordenadas en el plano cartesiano (F1), como se indica en la figura 29. Además, recurre a conceptos relacionados con la cinemática (velocidad, posición, aceleración). Se observó que aun tratándose de niveles de construcción Intra-, en donde el estudiante imita procesos o sigue instrucciones, reacomodó sus estructuras actuales, adaptándolas a la nueva información.
Figura 29.- Diagrama que representa las construcciones en el nivel
Intra- del sujeto S2.
El sujeto interioriza las acciones en procesos que le permiten acumular áreas y los encapsula en objetos. Para ello trae a su mente esquemas relacionados con operaciones con los números reales (R1) y esquemas relacionados con cantidades infinitesimales (R2), en el proceso de interiorización el sujeto necesitó recurrir constantemente a esquemas relacionados con la cinemática, particularmente velocidad y posición (M1) así como a esquemas que le permitieron localizar puntos en el plano cartesiano (F1).
Objeto Calculo de áreas limitadas por gráficas Acumula áreas sobre gráficas similares Procesos Objeto Gráfica de funciones primitivas Acción 1 Acción 2 F1 A1 M1 R1 Interioriza Encapsula R1 R2 F1 M1 F2 Interioriza Encapsula F3 Objeto Gráfica de una función Obtiene primitivas similares Procesos Objeto Gráfica de funciones primitivas Acción 3 I1 Esquema
S2, en ningún momento enfrentó dificultad para atender instrucciones e imitar procedimientos de solución. Prueba de ello es que, cuando se le solicitó que explicara los motivos que lo llevaron a asociar las gráficas de la tabla 6, correspondiente a la actividad 3.1.2, y que consistió en identificar la gráfica posición a partir de considerar el comportamiento de la gráfica velocidad de un partícula, lo hace correctamente, con argumentos válidos como se puede apreciar en el siguiente fragmento de entrevista9. Tabla 6
Actividad 3.1.2 correspondiente al bloque III.
E: …Si la velocidad es positiva la curva crece y si la velocidad es negativa la curva decrece ¿tú lo entendiste hasta este bloque o lo sabías desde antes?
S2: No, eso ya lo había entendido; como el año pasado la clase que tomé, el maestro nos explicó que según era un niño que iba a la escuela y luego él tenía su velocidad constante, entonces él iba subiendo y después… este… que se le olvidó algo, se regresó y entonces no podía poner la velocidad, la puso abajo porque ya no estaba su… este… su… el eje de la x era su referencia y entonces ya no se estaba acercando a la escuela, se estaba alejando, porque se regresó. Entonces su velocidad era negativa pero el tiempo seguía transcurriendo,
E: Aquí tenemos a A con 4. A ver, A con 4, recta y recta. Ésta (Señala la gráfica A) está sobre el eje horizontal… es positiva, me imagino que por eso tienes estos signos aquí ¿verdad?
S2: ¡Ah, si! Porque estaba arriba del eje x.
E: Y entonces, ¿cómo la relacionaste con ésta (señala la gráfica 4)?
S2: Porque como era constante (piensa), o sea tiene que subir la constante. ¡Oh! Ya me acordé, porque la velocidad era 2 pero era en el tiempo 0. Entonces si son 2 km por 0 pues es 0, entonces por eso. En la otra… (piensa) ¡Ya me acordé! Ya me fijé más bien.
E: Perfecto y luego asociaste a B con 1, ¿1 y la B?,
S2: Oh! porque eran positivas las 2 y estaban juntas sería, pero estaba curveado pero lo curveado no tenia mucho, no me fije pues tanto si estaba curveado o no, si estaba arriba de la x y si estaba subiendo y esta estaba debajo de la x y esta aunque hubiera estado arriba de la x pero estaba así, para abajo.
E: ¿y la 3 con D?
S2: ah, esa! fue porque me sobró, ja ja ja (se rie), no, no se crea!, porque aquí éste (señala la gráfica D) está arriba de la x aunque está en la x negativa pero esta arriba, como la velocidad no importa que está en lo negativo o en lo positivo mientras esta arriba de x y aquí (señala la gráfica 3) como va subiendo pues es positivo y de ahí llega 0 llegan a 0 los dos y ésta (señala la gráfica D) ya está debajo de x y ésta (señala a la gráfica 3) ya empieza a bajar.
Se observa que sus respuestas no fueron azarosas. Éstas fueron el producto generado principalmente desde los esquemas mentales que posee y que fueron construidos un año antes de la entrevista y que van en sintonía con la información que se proporcionó en la actividad 3.1.1, que correspondió a la acción 3.
En el diagrama de la figura 29 se puede observar que el sujeto logra la obtención de la gráfica de la primitiva como un objeto matemático. Esto le permite resolver problemas para modelos similares, para curvas que pertenecen a la misma familia; sin embargo, se observa que es capaz de realizar la operación pero necesita recurrir a la idea que se le planteó para tal fin. Muestra cierta autonomía aun en sus procedimientos, pero todavía resuelve los problemas planteados por imitación, particularmente cuando acumuló áreas para obtener la gráfica de la primitiva. Otro punto interesante a rescatar es que al sujeto S2 se le facilitó bosquejar la gráfica de la primitiva a partir de analizar el comportamiento de la gráfica de la Derivada.
La descripción de los esquemas a los que recurre, referidos en el diagrama II es la siguiente:
A1: Posee construcciones sobre el cálculo de áreas de rectángulos, triángulos y cuadrados,
y estimación de áreas de figuras cuando uno de los lados está delimitado por una curva.
R1: Posee construcciones para operar con los números reales (suma, resta multiplicación),
además, dentro del campo de los reales se destacan también construcciones que le permiten manipular y operar el concepto de intervalo cerrado, e interpreta sin dificultad los números enteros y fraccionarios que éste contiene y que son necesarios para comprender el trazo de la gráfica de la función primitiva como una función continua y no discretizada.