Primal-dual algorithms with constant stepsize

Hasta el momento se han recuperado elementos valiosos que subyacen al concepto de la Integral; sin embargo, para los fines de la investigación en necesario conocer la transposición del concepto al escenario escolar, para ello se realizó un estudio exploratorio, mediante una entrevista semiestructurada, en donde participaron profesores de Cálculo así como estudiantes quienes acreditaron el tema de la Integral con la finalidad de conocer los significados personales del concepto tanto del maestro como del estudiante. Se focalizaron tópicos referentes a:

a) qué significa aprender el concepto desde representaciones geométricas,

b) para qué le será útil al estudiante de ingeniería en su formación y vida profesional, c) las dificultades conceptuales que comúnmente se presentan cuando éste se estudia,

y

d) qué conocimientos previos son requeridos para no obstaculizar la apropiación del concepto.

Se entrevistaron tres maestros del área de Matemáticas (M1, M2, M3) y uno del área de Electrónica (M4), dos alumnos del área de Electrónica quienes estudiaron Cálculo Integral

(ACI1, ACI2), y dos que repiten el curso (ACI3, ACI4), los resultados de tales entrevistas se resumen a continuación.

* Significados personales del concepto de la Integral:

Al respecto se encontró que los estudiantes quienes previamente estudiaron Cálculo Integral, a un año de haber acreditado el curso, comprenden la Integral desde registros de representación geométricos como la suma de Riemann, y algebraicos como la antiderivada. Se observó que los estudiantes en su momento no fueron “instruidos” en la recuperación de una función primitiva dada la gráfica de su Derivada ni sobre acumulación de áreas, ellos creen que esto es posible únicamente a partir de conocer una expresión la cual deberá ser integrada con algún algoritmo algebraico o con alguna fórmula. Esta situación se observó también en algunos maestros de Cálculo Integral, quienes argumentaron que lo más importante es proveer al estudiante de una serie de herramientas algebraicas y algorítmicas que le permitan calcular la Integral de cualquier función que sea integrable.

Por otro lado, los docentes comentaron que la Integral es tratada desde registros algebraicos y geométricos (se refieren a la suma de Riemann) debido a dos razones: por un lado, los planes de estudio así lo indican; por otro, porque consideran que el grueso de la población estudiantil, en un grupo de 50 estudiantes, están formados en el estudio de la matemáticas desde registros de representación algebraicos y que es difícil romper con esto. Sin embargo, algo que se infiere de estas entrevistas es que es difícil tanto para el docente como para el estudiante romper con la tradición tan arraigada que existe en el abordaje de las matemáticas como una disciplina algorítmica, sin embargo “los algoritmos son necesarios”, comentó el maestro M2, “pero no suficientes en la formación de un sujeto que estudia alguna ingeniería, se deben abordar los conceptos desde diferentes perspectivas”.

Los estudiantes conceptualizan a la Integral como la antiderivada y como un mecanismo para calcular áreas, evidencian registros algebraicos para encontrar la Integral de una función y muestran dificultad en interpretar el concepto desde registros geométricos para el cálculo de áreas limitadas por curvas (específicamente los estudiantes ACI3, ACI4).

* Importancia de las representaciones geométricas en la formación del futuro ingeniero:

De acuerdo a la información recopilada, la opinión de los maestros se encaminó a resaltar la importancia que tiene que el estudiante de ingeniería sea capaz de transitar por diversos registros en los que se manifiesta un concepto matemático. Específicamente los maestros M2 y M4 comentaron que, en ingeniería, es necesario muestrear datos que representan una función que carece de un modelo matemático (una expresión o fórmula), pero que pueden ser representados geométricamente ya que involucran dos o tres variables. Entonces, se espera del estudiante que sea capaz de analizar esto y bosquejar la función que representa la Integral de una función, tal es el caso para los estudiantes que trabajan en los laboratorios de electrónica e instrumentación.

El maestro M4 agregó que en matemáticas los estudiantes aprenden a graficar y analizar funciones a partir de modelos ya establecidos, modelos que son propuestos por la mayoría de los libros de Cálculo Diferencial e Integral, y que éstos en la mayoría de los casos, están alejados de la realidad en los cursos propios del área de electrónica, ya que cuando los estudiantes recolectan datos de situaciones reales, obtienen gráficas que no se apegan a tales modelos. El estudiante se enfrenta, entonces, a problemas conceptuales que debieron ser resueltos en los cursos de Cálculo.

Por otro lado, el maestro M1 comentó que para él es importante que los estudiantes dominen procedimientos algebraicos para encontrar la Integral de cualquier función. Agregó que el problema con las representaciones geométricas es que el estudiante, cuando llega al curso de Cálculo, no posee los elementos suficientes que le permitan realizar un análisis gráfico sobre el comportamiento de una función. El estudiante está más entrenado en la parte algorítmica que en la geométrica.

Los cuatro alumnos entrevistados comentaron que les resulta difícil graficar funciones a partir de una expresión matemática (registros algebraico), que es más simple graficar una función a partir de datos organizados en una tabla (sus trazos son burdos). No conciben bosquejar una función a partir de analizar el comportamiento de otra gráfica.

* Dificultades referentes a conocimientos previos:

Los maestros del área de matemáticas entrevistados comentaron que un problema que perciben cuando se abordan los conceptos desde representaciones geométricas es que los estudiantes poseen estructuras mentales débiles en el estudio de funciones y, por tanto, carecen de habilidades para operar y graficarlas (esto se observó también con los estudiantes entrevistados). El maestro M1 comentó que el transitar de un registro de representación geométrico a otro (también geométrico) requiere cierta formación y entrenamiento, lo cual no se logra en una carrera de ingeniería, dado que “las cualidades académicas que posee la mayoría de los estudiante no son las adecuadas para iniciarlos en el análisis minucioso de gráficas” (maestro M1).

Por otro lado, el maestro M2 comentó que el primer problema con el que se enfrentaría el abordaje de los conceptos desde su representación geométrica no es precisamente conceptual sino actitudinal, pues es difícil “romper con la inercia tanto de profesores como alumnos de entender las matemáticas desde los algoritmos, desvinculados de la realidad, lo cual implica menos trabajo mental para el docente y alumno. El enfoque geométrico demanda un cambio no precisamente complicado sino novedoso”.

2.2.5 Un acercamiento teórico a la descripción de los niveles de construcción