Contribución al diseño de lazos de realimentación electrónica para microsistemas electromecánicos (MEMS) resonantes: ruido de fase generado en lazos osciladores por sus realimentaciones
∆𝑈 = 𝑞2
2𝐶 [𝐽] (1.3)
Para un valor de 𝐶 ≈ 1 𝑝𝐹 que tendría en cuenta la capacidad parásita del conexionado del resistor en el sistema de medida de ruido, la energía que resulta es ∆𝑈 ≈ 1,3 × 10−26 𝐽,
mientras que la energía térmica a 𝑇 = 300 𝐾 es 𝐹𝑇 ≈ 4 × 10−21 𝐽. Si este proceso de paso del
electrón sólo requiere ∆𝑈 = 0,000003 × 𝐹𝑇, podemos concluir que el paso de un electrón entre los terminales del resistor es un suceso muy probable a temperatura ambiente e, incluso, a temperatura de Helio líquido. Basta pensar en que para una impureza donadora que necesite ∆𝑈 = 2,6 𝑚𝑉 para ionizarse a 𝑇 = 300 𝐾 (∆𝑈 = 0,1 × 𝐹𝑇, en tal caso) ya se asume la hipótesis de ionización total o muy probable. Llamando Acción Térmica (AT) a cada paso de un electrón entre los terminales del resistor, el pequeño valor de la Fluctuación de energía ∆𝑈 necesaria para ello, en una C cuya tensión más probable es cero, justifica la propuesta que hicimos en [1.5] sobre una serie aleatoria de ATs como causa del ruido Johnson del resistor. Cada AT generaría una tensión de 𝑞 𝐶⁄ [𝑉] en C que decaería exponencialmente con una constante de tiempo 𝜏 = 𝑅𝐶. Este decaimiento que llamamos Reacción del Dispositivo (RD) [1.5], sería el Efecto que seguiría a la Causa (AT) que le precede.
Así se tiene una dinámica de tipo Fluctuación→Disipación, Acción→Reacción o Causa→Efecto si se prefiere (una flecha del tiempo por tanto a nivel microscópico), para el ruido Johnson de un resistor [1.8]. Tomando la Ec. (1.3) como un valor medio útil de la energía involucrada en cada Acción Térmica (el caso de tener C con cierta carga previa debida a pares
AT→RD precedentes, cae fuera de este modelo simple), podemos estimar la tasa media 𝜆 de
pares AT→RD que existirá en un resistor de cierta resistencia R, en ET a la temperatura T. Para ello, basta considerar que la potencia activa media 𝑃𝑅, convertida en calor en el resistor debido
a su R, tiene que ser igual a 𝜆 veces la energía media ∆𝑈 que cada AT “inyecta en C”. Este producto no es más que la potencia reactiva 𝑃𝐷 captada por C y que al igualarla a 𝑃𝑅 da lo
siguiente [1.5]: 𝑃𝑅=𝐹𝑇𝐶 ×𝑅 = 𝑃1 𝐷 = 𝜆 × 𝑞 2 2𝐶 ⇒ 𝜆 = 2𝐹𝑇 𝑞2𝑅 [𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑠 𝑇é𝑟𝑚𝐴𝐴𝑟𝑠 𝑠⁄ ] (1.4)
La Ec. (1.4) no sólo indica el carácter discreto de la Resistencia R, vista como una serie discreta de oportunidades para convertir energía eléctrica en calor. También indica que el resonador L-C, de los osciladores que nos interesan, va a tener un ruido de carga debido a electrones que pasan aleatoriamente y de uno en uno [1.8] entre las placas de C. La fluctuación sinusoidal de carga que tendría tal resonador, sin este ruido de carga (la “portadora” de frecuencia estática f0), se va a ver perturbada o modulada por este ruido. El estudio de esta
modulación bajo el nuevo modelo de [1.5] que hacemos en el Capítulo 3 de esta Tesis, permite mostrar que es una modulación aleatoria de la fase de esa portadora (esto ya es Ruido de Fase) y que esa modulación es además, una modulación de frecuencia por ruido de carga (por ruido impulsivo de corriente), porque cada AT es integrada en el tiempo por C para dar un pequeño escalón de tensión que modula en fase a la que, sin ese ruido, sería una “portadora de frecuencia estática f0” (esto ya es explicar cómo se genera ese Ruido de Fase).
NUEVO MODELO DE RUIDO ELÉCTRICO EN INDUCTORES
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Contribución al diseño de lazos de realimentación electrónica para microsistemas electromecánicos (MEMS) resonantes: ruido de fase generado en lazos osciladores por sus realimentaciones
Esta visión tan completa sobre el Ruido de Fase que proporciona el nuevo modelo de ruido Térmico [1.5], no se obtiene con el modelo unidimensional usado actualmente. Ello hace que el mecanismo subyacente a esta modulación de frecuencia, que parecerá evidente bajo el nuevo modelo de ruido, no sea conocido por autores que publican sobre un “Efecto Leeson”, para indicar que el espectro de banda base del ruido de los dispositivos del oscilador se convierte en ruido de frecuencia centrado alrededor de la portadora f0, cuyo espectro es como
el de banda base multiplicado por 1 𝑓⁄ 2 [1.16]. Realmente esto sólo es parte de lo que ocurre
con un espectro plano por ejemplo, porque además hay ensanchamiento de línea.
Como veremos en esta Tesis, la simple idea de un CCO (Charge Controlled Oscillator) que es modulado por un ruido de carga de potencia 2𝐹𝑇 𝑅⁄ [𝐶2⁄ ]𝑠 , explica directamente el
Ruido de Fase denominado ensanchamiento de línea del osciladorL-C, como algo debido a las Acciones Térmicas que la electrónica nada puede hacer para evitar que surjan. Otras ideas adicionales sobre el efecto de la electrónica en las más lentas Reacciones del Dispositivo (RD), permitirán explicar otras zonas del ruido de Fase a medida que nos separamos de f0. Así, no
necesitaremos hablar de un “Efecto Leeson” [1.16] para justificar esa modulación FM por distintos ruidos que producen el espectro de Ruido de Fase experimental. Del mismo modo que al excitar con ruido de tensión la entrada de un VCO (Voltage Controlled Oscillator) se debe tener ruido de frecuencia en su portadora de salida sin invocar un “Efecto Leeson”, al excitar con un ruido de carga la entrada de un CCO deberemos tener ruido de frecuencia en su portadora de salida, sin necesidad de invocar tal “efecto”.
Quedan así descritos, a grandes rasgos, tanto el nuevo modelo de ruido térmico [1.5] y [1.8], como la parte más teórica de esta Tesis, surgida para poner a prueba la validez de este nuevo modelo. Convencidos de la validez y de la necesidad de la Admitancia que utiliza el nuevo modelo de ruido Térmico en resistores y condensadores (un circuito R-C en modo paralelo), veamos en la próxima Sección lo que sería un modelo dual para el ruido Térmico de una Inductancia L en serie con una resistencia R, que es la Impedancia Compleja dual de la antedicha Admitancia.
1.4.
NUEVO MODELO DE RUIDO ELÉCTRICO EN INDUCTORES
Una buena forma de empezar esta Sección sería con la reflexión sobre qué se entiende por “dualidad” en Física y en Ingeniería. Podríamos hablar de la familiar dualidad “onda- corpúsculo” que permite explicar cómo el cuanto de carga (electrón) pasa instantáneamente entre los terminales del D2T llamado resistor. Podríamos hablar de la dualidad matemática o igualdad formal entre las ecuaciones que describen circuitos en modo paralelo y circuitos en modo serie. Y quizá, una mezcla de lo anterior sea preguntarse sobre el significado físico de ese “modelo dual” de ruido Térmico que vislumbramos, partiendo del elemento reactivo capacidad C y considerando su elemento “dual”, capaz también de almacenar energía en un circuito. Nos referimos a la inductancia L medida en Henrios, como la de una bobina construida ex profeso para almacenar energía magnética o la que involuntariamente aparece en los hilos de conexión de un circuito.