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Contribución al diseño de lazos de realimentación electrónica para microsistemas electromecánicos (MEMS) resonantes: ruido de fase generado en lazos osciladores por sus realimentaciones

Figura 1.2

“Modelo dual”, al mostrado en la Figura 1.1, de ruido eléctrico para un resistor en ET a temperatura 𝑇 ≠ 0 𝐾.

Hasta aquí la dualidad parece funcionar, pero ha habido que hacer algo adicional para no perder el sentido físico de lo que se buscaba. Lo que hemos tenido que considerar es que si el inductor va a mostrar ruido debido a fluctuaciones de energía magnética, esta forma de energía debe poder existir en este dispositivo. Este es el argumento Termodinámico que nos llevó hace tiempo a proponer el papel esencial de C en el ruido Johnson: la búsqueda del grado de libertad ligado con las fluctuaciones que se medían. Estas eran fluctuaciones de tensión en la C del resistor y ahora serán las fluctuaciones de corrienteque midamos en la L del inductor. Ahora bien: para que el inductor pueda almacenar energía magnética que fluctúe, habrá que permitir el paso de corriente eléctrica a través de su inductancia L, sin que ese paso genere efectos que lo perturben, como podría ser una tensión espuria generada en alguna parte del circuito por esa corriente cuyo paso hay que permitir sin obstáculos. Dicho llanamente: el dispositivo de dos terminales (D2T) que es una bobina con sus dos terminales “al aire”, NO ES EL INDUCTOR que buscamos.

Ello sugiere cortocircuitar los terminales A y B de la bobina física, como se hace en la Figura 1.2, mediante el conductor inferior de resistencia nula en el que hemos “incrustado” un generador de tensión vNy(t) que luego discutiremos. Sólo al hacer este cortocircuito externo

entre esos terminales, se obtiene el inductor ruidoso de inductancia L (ruidoso significa capaz de mostrar ruido) que estamos buscando, pudiéndose decir que antes de cortocircuitarlo, no había tal inductor de inductancia L y por tanto, no podía tener “ruido dual”. Antes de cortocircuitar los terminales físicos A y B de la bobina, este dispositivo era incapaz de almacenar energía magnética con arreglo a 𝑈𝑀= 𝐴2⁄(2𝐿) porque sus dos terminales A y B “al

aire” cerraban el circuito, “por fuera”, con una inductancia infinita (Lext→ ∞) que hacía𝑈_𝑀= 0.

Nótese que Lext → ∞ es un circuito abierto para corrientes alternas y que la condición de

circuito abierto entre terminales que impide a L almacenar energía magnética, es dual de la de cortocircuito entre terminales (Cext → ∞) que impediría a un condensador de capacidad C

almacenar energía eléctrica.

El ruido térmico de tensión que se mida en la bobina con los terminales “al aire”, es algo diferente al “ruido dual” porque ¿qué nos asegura que no es ruido generado en la capacidad parásita entre esos terminales [1.5]?. Cortocircuitando los terminales de la bobina, se elimina este grado de libertad asociado al campo eléctrico y, sólo nos queda, el grado de libertad

NUEVO MODELO DE RUIDO ELÉCTRICO EN INDUCTORES

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asociado al campo magnético. Así llegamos a una situación curiosa: al hacer el cortocircuito de los terminales de la bobina para tener un inductor o almacén de energía magnética basado en ella, nos quedamos sin terminales o con ambos confundidos en uno solo que llamamos “cortocircuito”. Pero, como esta actuación permite la existencia del grado de libertad para almacenar energía magnética 𝑈𝑀 = 𝐴2⁄(2𝐿), ligada por tanto con la corriente 𝐴 a través de L,

podemos seguir adelante y aplicar Equipartición al grado de libertad que acaba de nacer en el dispositivo con tal cortocircuito. Por tanto, en el inductor así construido y en equilibrio térmico con su entorno a temperatura T, habrá una fluctuación térmica de su energía magnética de valor 𝐹𝑇 2⁄ . Adaptando la Ec. (1.1) a este caso tenemos:

1 2 𝐿〈𝐴𝑛2〉 = 1 2 𝐹𝑇 ⇒ 〈𝐴𝑛2〉 = 𝐹𝑇 𝐿 [𝐴2] (1.8)

Éste es el conocido, pero bastante olvidado, ruido 𝐹𝑇 𝐿⁄ [𝐴2_{] de un inductor o bobina}

de inductancia 𝐿, cortocircuitada y en ET a la temperatura 𝑇, sea cual sea la resistencia𝑅𝑆que

tenga en serie. Decimos “olvidado”, porque al buscar publicaciones pioneras sobre este ruido hemos encontrado [1.18] y [1.19], dos magníficos artículos de mitad del siglo pasado, escritos por el Ingeniero John Robinson Pierce, donde aparece la Ec. (1.8) obtenida bajo el mismo planteamiento (“laws of statistical mechanics”). Como el valor cuadrático de corriente así obtenido, es igual al que se obtiene suponiendo que la resistencia 𝑅𝑆 de un inductor es capaz

de generar una densidad espectral de ruido 4𝐹𝑇𝑅𝑆 [𝑉2⁄ ]𝐻𝐻 , nos volvemos a encontrar la

interpretación de hoy en día, donde la resistencia (que por definición sólo podría absorber potencia eléctrica, potencia activa), genera ruido eléctrico y 𝐿 lo filtra. El generador de línea de puntos entre 𝑅𝑠 y 𝐿 en la Figura 1.2, es reminiscencia de este cálculo de ruido que hicimos hace

tiempo, bajo el modelo tradicional de ruido para la 𝑅𝑠 vista como una resistencia óhmica

“localizada” entre los puntos A y X. Dicho llanamente, como en cálculos de ruido no se maneja el signo relativo entre corriente y tensión (o la fase entre ellas en régimen sinusoidal), porque no tiene mucho sentido ya que no se va a medir, el pensar que la resistencia 𝑅𝑠 genera

4𝐹𝑇𝑅𝑆 [𝑉2⁄ ]𝐻𝐻 estando en serie con L en el circuito de la Figura 1.2, conduce al mismo valor

𝐹𝑇 𝐿⁄ [𝐴2_{] de corriente cuadrática media en el circuito que el predicho por la Equipartición}

térmica según la Ec. (1.8).

Sin embargo, J. R. Pierce tenía las ideas claras al respecto cuando escribió en [1.19]: “We have conveniently thought of Johnson noise as generated in the resistances in a network. We need not change this concept and say that the voltage and current of (9) and (10) are generated in the capacitance or inductance any more than we would say that the thermal velocities of molecules are generated by the molecules’ mass.”

Las referencias (9) y (10) de este párrafo literal, son la Ec. (1.8) y la Ec. (1.1). Por tanto, y aunque no lo hemos sabido hasta hace muy poco tiempo, nosotros pensamos como J. R. Pierce: que el ruido Térmico (ruido Johnson) no se genera en las resistencias. Igual que él no veía necesario hacer esa matización a la hora de calcular ruido en circuitos con las densidades espectrales 4𝐹𝑇𝑅 [𝑉2_{⁄ ]𝐻𝐻 ó 4𝐹𝑇 𝑅⁄ [𝐴}2_{⁄ ]𝐻𝐻 , nosotros tampoco lo vemos necesario en esos}

casos. Sin embargo, esa matización es imprescindible para explicar efectos del ruido Térmico tales como el origen del exceso de ruido 1 𝑓⁄ o el ruido “flicker”, [1.6] y [1.7], y, en especial, si queremos explicar un efecto tan fino como el Ruido de Fase que nos ocupa en esta Tesis. En