CHAPTER FIVE Results
5.15 Structural Model Evaluation and Hypotheses Testing
2.1 Sistemas de numeración
2.1
Sistemas de numeración
Llamamossistema de numeraciónal conjunto de reglas que permiten la representación de todos los
números.
Sistemas muy conocidos, pero de índole muy diversa, lo constituyen elromanoy eldecimal. El primero
descompone el número en suma o diferencia de otros varios, cada uno de los cuales está representado por un símbolo especial:
I, V,X,L,C, D, M,
mientras que el segundo utiliza el principio del valor relativo es decir, una misma cifra representa valores distintos, según el lugar que ocupa.
Los sistemas fundados en los mismos principios que el decimal, son los únicos que tienen interés arit- mético.
Elsistema decimalestá fundado en el número fijoDIEZ; sin embargo, desde el punto de vista aritméti- co se puede establecer un sistema de numeración de igual naturaleza que el decimal, tomando como base un número cualquiera mayor que uno.
El fundamento de estos sistemas son los siguientes convenios:
1º.- Se toma como base un númeronmayor que uno, y se adoptan símbolos, denominadoscifraso
guarismospara representar el cero y los números menores que la base. Se llamansignificativas las cifras, prescindiendo del cero.
2º.- El número uno recibe el nombre deunidad(o de orden cero). Cadanunidades de un cierto orden
constituyen una unidad de orden superior.
3º.- Los números mayores que la base se expresan escribiendo varias cifras, unas a continuación de
otras. La primera cifra de la derecha representa las unidades simples que contiene el número, la segunda, las unidades de primer orden contenidas en el mismo; la tercera, las de segundo orden, y así sucesivamente.
Ejemplo 1.Consideremos el número representado por: c b 0 a Consta deaunidades simples,bde segundo orden ycde tercer orden.
de órdenes no contenidas en el número. En este caso, no hay unidades de primer orden.
El convenio3º.- puede también enunciarse diciendo: Una cifra colocada a la izquierda de otra representa unidades del orden inmediatamente superior al de ésta.
PROPOSICIÓN 1. Elegido un número n, mayor que uno, todo número N puede expresarse de manera única en la forma:
N=```⋅nm+k⋅nm−1+h⋅nm−2+ . . . .+c⋅n2+b⋅n+a
En efecto: Si efectuamos la división entera deNporn, y así mismo, dividimos pornlos sucesivos cocientes que resulten, mientras la operación sea posible, tendremos
N n a q1 n b q2 n c q3 ⋅ ⋅⋅ qm−2 n h qm−1 n k ``` N=q1⋅n+a. . . .[1] q1=q2⋅n+b. . . ...[n] q2=q3⋅n+c. . . ..[n2] . . . . . . . . qm−2=qm−1⋅n+h. . . ..[n m−2] qm−1= ```⋅n+k. . . ..[n m−1]
Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores, previamente multiplicadas por las potencias den que figuran a la derecha, entre corchetes, y suprimiendo sumandos comunes a ambos miembros, resultará la relación que queremos demostrar. El segundo miembro de dicha relación recibe el nombre de:
expresión polinómica del número N en la base n. Los números```,k,h. . . ,c,b,areciben el nombre decoeficientesdel polinomio en cuestión. Evidentemente la expresión obtenida es única.
Alalgoritmoutilizado le llamaremos:de las divisiones sucesivas. Ejemplo 2.Consideremos el número N=1900, y elijamos otro número n=2.
La expresión polinómica del númeroNen la basen, la obtenemos como se ha indicado antes. 1900 2 0 950 2 0 475 2 1 237 2 1 118 2 0 59 2 1 29 2 1 14 2 0 7 2 1 3 2 1 1 N=0+0⋅2+1⋅22+1⋅23+0⋅24+1⋅25+1⋅26+0⋅27+1⋅28+1⋅29+1⋅210
¡¡ Atención !! Comprobaremos, ya en el próximo ejemplo, que el númeroN=1900 10se expresará en
el sistema de base2, como:
N=11101101100 2
siendo sus cifras, a partir de la primera, el último cociente y luego sucesivamente y en orden ascendente, como indica la flecha, los sucesivos restos.
Veamos, ahora, como pasar de un sistema de numeración a otro:
1.- Dado un número en un sistema de base n, expresarlo en el sistema decimal.
Bastará escribir la expresión polinómica en basendel número dado y efectuar en el sistema deci-
mal las operaciones indicadas.
Ejemplo 3.Dado el número, en base 2:
N=11101101100 2 determinemos su expresión en el sistema decimal:
N=0+0⋅2+1⋅22+1⋅23+0⋅24+1⋅25+1⋅26+0⋅27+1⋅28+1⋅29+1⋅210=1900 Ejemplo 4.Dado el número, en base 5,
N=13404 5 determinemos su expresión en el sistema decimal:
N=4+0⋅5+4⋅52+3⋅53+1⋅54=1104 10
Ejemplo 5.Si la base es superior a9, nos van a faltar guarismos; así si la base es11, los guarismos serían: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,ααα
significando con elααα, la hipotética cifra10. Dado el número, en base11,
N=172ααα 11
determinemos su expresión en el sistema decimal:
N=ααα+2⋅11+7⋅112+1⋅113=10+22+847+1331=2210 10
2.- Dado un número, N en el sistema decimal expresarlo en el sistema de base n:
La regla a aplicar es la siguiente: Se divideNporn, y los cocientes enteros que vayan resultando,
mientras la operación sea posible. Sia,b,c,. . . ,h,k,```, son los restos enteros por defecto de las divisiones efectuadas, y```<n, el último cociente obtenido, la expresión:
```k h. . . .c b a es la del número buscado.
Ejemplo 6.Dado el número, en base 10,
N=60502 10 determinemos su expresión en el sistema de base 12:
Empezaremos aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas: 60502 12
10 5041 12 1 420 12
0 35 12 11 2 (En este caso representaremos:10=ααα y 11=βββ.)
Luego el númeroN=60502 10, tendrá en la basen=12, la expresión: N=2βββ01ααα 12
3.- Dado un número en un sistema no decimal expresarlo en otro sistema no decimal:
Ordinariamente se resuelve este problema utilizando1.- y2.-; es decir, se comienza pasando el
número dado al sistema decimal, y luego se pasa al sistema pedido.
Ejemplo 7.Dado el número, en base 5; N=13404 5, expresarlo en base 6. Paso 1.-: ExpresamosN=13404 5, pasándolo al sistema decimal:
N=4+0⋅5+4⋅52+3⋅53+1⋅54=1104 10 Paso 2.-: ExpresamosN=1104 10, pasándolo al sistema de base6:
1104 6 0 184 6
4 30 6 0 5
Luego, el númeroN=1104 10, tendrá en la basen=6la expresión: N=5040 6.
En definitiva:
Ejemplo 8.Comprobar que el número
N=111. . . .12888. . . .896 que tiene n cifras 1 y n−1 cifras 8, es un cuadrado perfecto.
Podemos expresar el númeroNen la forma: N=102⋅n+1+ 102⋅n+ . . . .+10n+2+ 2⋅10n+1+ 8⋅10n+. . . .+8⋅102+9⋅10+6= =10n+1⋅( 10n+. . . .+10+1)+10n+1+ 8⋅(10n+. . . .+10+1)+8= = (10n+. . . .+10+1)⋅(10n+1+ 8)+(10n+1+ 8) = = (10n+91−1 +1)⋅(10n+1+ 8) = (10 n+1+ 8 3 ) 2
Ejemplo 9.Determinar un número de tres cifras que, disminuido en tres unidades, sea divisible por 5 y por 14, y que la suma de sus tres cifras sea 14.
Seaxyzel número buscado, que puede expresarse así:
100⋅x+10⋅y+z.
Disminuido en3unidades será el:
100⋅x+10⋅y+(z−3) que como debe ser múltiplo de5y de14=2⋅7, lo tendrá que ser de:5,2y7. En consecuencia,z−3=0, luego tendremos que:
100⋅x+10⋅y=˙7.
En definitiva:
z=3 y además
x+y=11
El único número de dos cifras múltiplo de7, y tal que sus cifras sumen11, es el56. En consecuencia, el número buscado es el:563.
Ejemplo 10.Determinar el número de dos cifras que cumple con la condición de que la diferencia entre el doble del número obtenido invirtiendo sus cifras y el número buscado es igual al triple de la suma de sus cifras más 3. Sea el número: N=ab Se debe verificar: 2⋅(10⋅b+a)−(10⋅a+b) =3⋅(a+b)+3. Simplificando, resulta: 16⋅b−11⋅a=3 o sea 11⋅a+3=16⋅b. El valor mínimo deaes7, y el debes5. Luego el número buscado es el75.
Las tablas de CRELLE
Contienen estas tablas todos los productos entre números inferiores a1000, utilizando para ello un siste-
ma de base1000, que precisa de999cifras.
Se adoptan como tales las mismas expresiones:1,2, . . . ...,99,100, ...,999.
El procedimiento seguido en este caso es el siguiente:Se dividen las cifras del número dado, a partir
de la derecha, en grupos de a tres; los grupos obtenidos expresan las unidades simples, de primer orden, segundo, etc.
Así, por ejemplo:
40812597063=40 812 597 063 1000
Todas las reglas operativas son, por tanto, válidas cuando se adopta esta base1000, operando con grupos
de tres cifras en vez de cifras aisladas.
La ventaja de la adopción de esta base1000, la tiene la multiplicación, cuando se trata de obtener el
producto de dos números con muchas cifras; así, vemos que en vez de incorporar al producto siguiente, las unidades superiores que resulten de cada producto, es mejor escribir éste íntegro, y en vez de correr cada producto parcial un lugar a la izquierda respecto del anterior, será preciso trasladarlo tres lugares.
Ejemplo.Efectuar la siguiente multiplicación: 42965062× 684213.
Productos (tomados de la tabla) 213⋅ 62 = 13206 213⋅965=205545 213⋅ 42 = 8946 684⋅62 =42408 684⋅965=660060 684⋅ 42 = 28728 42 965 062 684 213 13 206 205 545 8 946 42 408 660 060 28 728 29 397 253 966 206