นิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ( A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B ) นิยาม เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกของเซต A อย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เป็น สมาชิกของเซต B ( A ไม่เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B )
ใบความรู้ที่ 3.1
เรื่อง
สับเซต (Subset) ถ้า A = {1}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 4, 5, 6} และ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} จะได้ว่า AB เพราะสมาชิกทั้งหมดของ A หรือ 1 เป็นสมาชิกของ B B D เพราะสมาชิกทั้งหมดของ B เป็นสมาชิกของ D AD เพราะสมาชิกทั้งหมดของ A เป็นสมาชิกของ D AC เพราะ 1 A แต่ 1 C BC เพราะ มีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว ซึ่ง 2 B แต่ 2 C CD เพราะ 6 C แต่ 6 Dตัวอย่างที่ 1
จากการสังเกต ถ้า AB แล้วทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ B และ ถ้า BA แล้วทุกสมาชิกของ B เป็นสมาชิกของ A เมื่อเงื่อนไขทั้งสอง เป็นจริงพร้อมกัน จะได้ว่า A = B ถ้า AB และ BA แล้ว A =B
ถ้า A = {a, b, c} และ B = {a, b, c, d} จะได้ AB เพราะทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ B ถ้า C= {2, 4, 6} และ D = {6, 4, 2} จะได้ CD เพราะทุกสมาชิกของ C เป็นสมาชิกของ D และ C= D เราเรียกสับเซตแบบนี้ว่า สับเซตไม่แท้ ข้อสังเกต 1. เซตทุกเซต เป็นสับเซตของตัวเอง ( ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A A ) 2. ถ้า A B และ B A แล้ว A = B 3. ถ้า A B และ A ≠ B แล้ว เรียก A ว่า สับเซตแท้ ของ B ( A B ) 4. ถ้า n(A) = n แล้ว จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A = 2n เซต และ จ านวนสับเซตแท้ทั้งหมดของเซต A = 2n – 1 เซต 5. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต และเซตว่างไม่มีสับเซตแท้
ตัวอย่างที่ 2
ก าหนดให้ A = {a, b} จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A วิธีท า สับเซตของ A ที่ไม่มีสมาชิกเลย คือ สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ {a}, {b} สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว ได้แก่ {a, b} ดังนั้น A มีสับเซตคือ , {a}, {b}, {a, b} ก าหนดให้ B = {1, {2}, 3} จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A วิธีท า สับเซตของ A ที่ไม่มีสมาชิกเลย คือ สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ {1}, {{2}}, {3} สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว ได้แก่ {1, {2}} , {1, 3} , !{2}, 3} สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 3 ตัว ได้แก่ {1, {2}, 3} ดังนั้น A มีสับเซตคือ , {1}, {{2}}, {3}, 1, {2}} , {1, 3} , !{2}, 3}, {1, {2}, 3} เซตจ ากัดใด ๆ และมีจ านวนสมาชิก n ตัว จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A จะเท่ากับ 2n เซต
ตัวอย่างที่3
ตัวอย่างที่4
สรุป เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ ……… ………. เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ ……… ……….
ใบกิจกรรมที่ 3.1
เรื่อง สับเซต
ข้อที่ เซตที่ก าหนดให้ ความสัมพันธ์ของเซตที่ก าหนดให้ A เป็นสับเซตของ เซต B A ไม่เป็นสับ เซตของเซต B 1 A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} 2 A = {3, 4, 5} , B = {1, 2, 3, 4} 3 A = {a, b} , B = {a, b, c, d} 4 A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 5 A = {5, 10, 15, 20} , B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 6 A = {a, b, c} , B = {a, b, d, e, f} 7 A = {1, 2, 3, 4, 6} , B = {1, 2, 3, 4, 5} 8 A = { } , B = {1, 2, 3} 9 A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c, e, f, g} 10 A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3}ค าชี้แจง
1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบค าถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาท ากิจกรรม 5 นาทีสรุป ………. ข้อที่ เซตที่ก าหนดให้ สับเซตของเซตที่ก าหนดให้ จ านวนสับเซต ทั้งหมดของเซต ที่ก าหนดให้ 1 A = {a} {a} , 2 = 21 2 A = {1, 2} {1}, {2}, {1, 2}, 4 = 22 3 A = {1, 2, 3} ……… ……… ………… 4 A = {1, 2, 3, 4} ……… ……… ……… ……… ………… 5 A = {a, b, c} ……… ……… ……… ……… ………… 6 A = {a, b} ……… …………
แบบฝึกหัดที่ 3.1
เรื่อง สับเซต
จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ 1. A = { 0 } n(A) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต A มี ... เซต ได้แก่ ... 2. B = { 2, x } n(B) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต B มี ... เซต ได้แก่ ... 3. C = { 1, 3, 5 } n(C) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต C มี ... เซต ได้แก่ ... 4. D = { 2, 4, a, x } n(D) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต D มี ... เซต ได้แก่ ... ... 5. E = { {1} } n(E) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต E มี ... เซต ได้แก่ ... 6. F = { 0, {5} } n(F) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต F มี ... เซต ได้แก่ ...ค าชี้แจง
1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบค าถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาท ากิจกรรม 5 นาทีตอนที่ 2 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด 1. ให้ ก าหนด A = 0 , 1 , 2 , 3 1. 0 A 5. 4 A 2. 0 A 6. 1 , 2 A 3. 2 A 7. 1 , 2 ,3 A 4. 3 A 8. 0, 1 , 2 , 4 A 2.ให้ B = a , b , c 1 . a B 5 ) a , b , c B 2 . b B 6 ) a B 3 . c B 7 ) a , c B 4 . a B 8 ) b B 3. ให้ A= {1, 2, 3}, B ={ 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4} , D = {2, 3, 4, 5} ………1. AB ………2. BC ………3. BA ………4. CB ………5. BD ………6. CD ………7. AD ………8. AC ตอนที่ 3 จงกาเครื่องหมาย หน้าข้อที่เห็นว่าถูก และกาเครื่องหมาย หน้าข้อ ที่เห็นว่าผิด …………. 2.1 ถ้า A B แล้ว B A …………..2.2 ถ้า A B และ a A แล้ว a B …………..2.3 ถ้า A B และ B = C แล้ว A C …………..2.4 ก าหนด A = {1, 2, {2, 5}} แล้ว {2, 5} A ………….2.5 ถ้า A = {1, 3} แล้ว จ านวนสับเซตของ A เท่ากับ 4 เซต …………..2.6 ถ้า A = {a, b, c} แล้ว A
เรื่อง
เพาเวอร์เซต นิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A หมายถึง เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสับเซต ทั้งหมดของเซต A เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) P(A) ={xx A} ถ้า n(A) = n แล้ว จ านวนสมาชิกของ P(A) = 2n ก าหนดให้ C = {1, {2}, {2,3}} จงหาเพาเวอร์เซตของ C วิธีท า C = {1, {2}, {2,3}} จ านวนสมาชิกของ C มี 3 ตัว จ านวนสับเซตทั้งหมดของ C เท่ากับ 3 2 = 8 เซต คือ สับเซตของ C ที่ไม่มีสมาชิกเลยคือ สับเซตของ C ที่มีสมาชิก 1 ตัว คือ {1}, {{2}}, {{2,3}} สับเซตของ C ที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ {1,{2}}, {1,{2,3}}, {2,{2,3}} สับเซตของ C ที่มีสมาชิก 3 ตัว คือ {1, {2}, {2,3}} ดังนั้น P(C) = { , {1}, {{2}}, {{2,3}}, {1,{2}}, {1,{2,3}}, {2,{2,3}}, {1, {2}, {2,3}} }ตัวอย่างที่ 1
ก าหนดให้ D = {,{1}} จงหา P(D) วิธีท า วิธีท า D = {,{1}} จ านวนสมาชิกของ D มี 2 ตัว จ านวนสับเซตทั้งหมดของ D เท่ากับ 2 2 = 4 เซต คือ สับเซตของ D ที่ไม่มีสมาชิกเลยคือ สับเซตของ D ที่มีสมาชิก 1 ตัว คือ {}, {{1}} สับเซตของ D ที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ {,{1}} ดังนั้น P(D) = { , {}, {{1}}, {,{1}} ข้อสังเกต ก าหนดให้ A เป็นเซตใด ๆ แล้วจะได้ว่า 1. P(A) 2. A P(A) 3. P(A) 4. ถ้า A เป็นเซตว่าง P(A) = {}
ตัวอย่างที่2
ตอนที่ 1 ข้อที่ เซตที่ก าหนดให้ สับเซตของเซตที่ ก าหนดให้ จ านวนสับเซต ทั้งหมดของเซต ที่ก าหนดให้ เพาเวอร์เซตของเซตที่ ก าหนดให้
1 A = {a} {a} , 2 = 21 {{a} , }
2 A = {1, 2} {1}, {2}, {1, 2}, 4 = 22 {{1}, {2}, {1, 2}, } 3 A = {1, 2, 3} 4 A = {1, 2, 3, 4} 5 A = {a, b, c} 6 A = {a, b} สรุป เพาเวอร์เซตของเซต A คือ ……… ……….. ……….. ……….. ………..
ใบกิจกรรมที่ 3.2
เรื่อง เพาเวอร์เซต
ค าชี้แจง
1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบค าถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาท ากิจกรรม 5 นาที1. A = { 4 } n(A) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(A) มี ... เซต P(A) = ... 2. B = { 3, 5 } n(B) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(B) มี ... เซต P(B) = ... . 3. C = { a, b, c } n(C) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(C) มี ... เซต P(C) = ... 4. G = { {3}, {a} } n(G) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(G) มี ... เซต P(G) =... 5. H = { 1, {2, 3} } n(H) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(H) มี ... เซต P(H) = ... 6. M = { 0, } n(M) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(M) มี ... เซต P(M) = ... 7. A = { x } n(A) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(A) มี ... เซต P(A) = ... P( P(A) ) = ... 8. B = n(B) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(B) มี ... เซต P(B) = ... P( P(B) ) = ... P( P( P(B) ) )= ...
