En un problema econométrico de optimización se pueden utilizar dos tipos de funciones objetivo (Viton, 1986). Las primeras son las funciones de producción, en las que manteniendo constante el valor de los inputs, se busca la optimización maximizando la cantidad de outputs obtenidos. Estas funciones son usadas para evaluar la eficiencia técnica. El segundo grupo es el de las funciones de costes, en las que, en cambio, se mantienen constantes los valores de los outputs y se optimiza minimizando la cantidad de inputs utilizada en la producción. Con ellas se evalúa la eficiencia en la asignación de recursos. En ambos casos se dice que son funciones frontera, ya que representan un máximo o un mínimo no rebasable. La producción de un DMU k se puede expresar mediante una función de producción de la siguiente manera:
y
k=f x
k;β
+ε
k(3.1) El valor de la producción es yk. Para alcanzarlo, es necesario que se consuma una serie de inputs xk,
representado mediante la función f (xk;β), siendo βun vector de parámetros desconocido. La ineficiencia
técnica, o desviación en la producción, del DMU k respecto al resto de DMUs que comparten la misma tecnología, es decir, respecto a la frontera, viene representada por el término de error εk. El principal
inconveniente de estos modelos es que se debe suponer, a priori, la forma de la función f (xk;β), siendo
habituales, entre otras, las siguientes suposiciones: función Cobb-Douglas1, translogarítmica2 o una
1 Popularizada a partir del trabajo de Cobb y Douglas (1928), esta función relaciona la producción con el trabajo y el capital consumidos. El uso de variaciones de la función está muy extendido en la resolución de problemas económicos. La función original presenta la siguiente forma Q = βLαK1-α, donde Q representa la producción, L el
trabajo y K el capital. β y α son parámetros a estimar.
2 La función translogarítmica es una generalización de la función de producción Cobb-Douglas. Su nombre procede de transcendental logarítmica. Presenta la siguiente forma ln(Q) = ln(A) + αlln(L) + αkln(K) + αmln(M) + βllln(L)ln(L) + βlkln(K)ln(K) + βmmln(M)ln(M) + βlkln(L)ln(K) + βlmln(L)ln(M) + βkmln(K)ln(M), donde Q representa la producción, L el trabajo, K el capital y M los suministros. A, α y β son coeficientes de la regresión. Ver Viton (1981).
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función cuadrática (Viton, 1986). Otro inconveniente importante en la aproximación expuesta en (3.1) es que los parámetros no son estimados estadísticamente, sino que deben ser calculados utilizando técnicas de programación matemáticas (Murillo-Zamorano, 2004). Por otro lado, y según las especificaciones del término de error εk, los métodos paramétricos pueden ser clasificados en dos grupos: métodos
econométricos determinísticos y métodos econométricos estocásticos (ver tabla 3 – 1).
Murillo-Zamorano (2004) indica que se han desarrollado varias técnicas determinísticas, como los mínimos cuadrados ordinarios modificados, los mínimos cuadrados ordinarios corregidos y la estimación de la máxima probabilidad. El mismo autor añade que esta vía de investigación ha sido desechada frente a las técnicas estocásticas. Esto se debe a que, para poder aplicar el primer grupo de técnicas, habría que considerar que ningún elemento exterior a los DMUs influye en el valor de la producción. Así, esta hipótesis es poco realista, ya que achacar toda la desviación de la producción respecto de la frontera a la ineficiencia técnica del DMU en cuestión, significaría dejar de considerar elementos sobre los que la unidad de producción no tienen ningún poder (Viton, 1986). De Borger y Kerstens (1996) añaden que los métodos determinísticos dan valores de la eficiencia inverosímilmente bajos respecto a los métodos estocásticos.
Por otro lado, respecto a las técnicas econométricas estocásticas, los trabajos de Aigner et al. (1977), Battese y Corra (1977) y Meeusen y van Den Broeck (1977) supusieron un cambio en el enfoque del problema del estudio de las funciones de producción, ya que en ellos se propuso separar el término de error εk en dos componentes, uk y vk, quedando la función de producción (3.1) expresada de la siguiente
manera:
y
k=f x
k;β
+(u
k+v
k)
(3.2) Así, la componente vk recoge la parte de la desviación en la producción atribuible a las variables
exógenas al DMU o componente estocástica, asumiéndose que es independiente y con distribución normal (vk ~ N (0, σv2). En cuanto a la componente uk, es la parte del error asociada a la ineficiencia
técnica del DMU y es independiente de vk.
Al resolver el problema (3.1) se obtiene la desviación o error total, por eso, si lo que se busca es el valor de la ineficiencia técnica (término uk), se ha de separar el término de error εk, haciéndose algunas
estimaciones. En la literatura se han utilizado diferentes distribuciones estadísticas para la componente
uk, siendo las más habituales la semi-normal y la exponencial (Murillo-Zamorano, 2004). Si se asume que
ambas componentes del error uk y vk son independientes entre sí y respecto a los inputs, y se usa una de
las distribuciones indicadas, entonces las funciones de probabilidad pueden ser usadas y se pueden determinar estimaciones de máxima probabilidad (Murillo-Zamorano y Vega-Cervera, 2001 y Murillo- Zamorano, 2004).
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Una cuestión que se presenta es que las distribuciones semi-normal y la exponencial tienen un valor de la moda igual a cero. Esto causa problemas en la evaluación de los valores de la ineficiencia, ya que puede producir niveles de eficiencia técnica altos, al imponerse que la mayoría de los DMUs se encuentren próximos a la frontera de eficiencia (valor de ineficiencia igual a cero), lo que no tiene por qué ser acorde a la realidad (Cummins y Zi, 1998). De ahí que se hayan intentado aplicar otras distribuciones, como la distribución Gamma de dos parámetros (Meeusen y van Den Broeck, 1977; Cummins y Zi, 1998), si bien la complejidad de los cálculos y el mayor numero de restricciones impuestas ha ocasionado que en la mayoría de los estudios realizados se utilicen las dos primeras distribuciones (Murillo-Zamorano, 2004). En algunos trabajos, como los de Jorgesen et al. (1997) y Cummins y Zi (1998) se utilizan diversas distribuciones y después se comparan los resultados utilizando coeficientes de correlación (por ejemplo, el de Spearman). Cummins y Zi (1998), a la hora de estudiar la ineficiencia con una base de datos en la que disponen de información de varios años, hacen lo siguiente: 1) calculan una función de producción para cada año, con lo que pueden estudiar la evolución de los parámetros, es decir, evaluar los cambios tecnológicos en el conjunto de DMUs y 2) obtienen una única función con el conjunto de datos de todos los años, con lo que consiguen un mayor número de grados de libertad, y además, no necesitan imponer ninguna distribución para la componente uk, ya que pueden asumir que es constante a lo largo de los años.
Una vez obtenidos los valores de la ineficiencia técnica uk, se puede estudiar, mediante una regresión posterior, la influencia que tienen las variables exógenas sobre ella (Jorgesen et al., 1997; Coelli et al., 1999; McMullen y Lee, 1999; Murillo-Zamorano y Vega-Cervera, 2001). Además de hacer la regresión a posteriori, Coelli et al. (1999) incluyen las variables exógenas en el propio modelo, comparando después ambos resultados. Murillo-Zamorano y Vega-Cervera (2001) rechazan esta opción, indicando que es más correcto realizar el método de dos etapas que incluir las variables exógenas en el modelo junto a los inputs, si bien señalan que en ocasiones es complicado saber qué variables son inputs y cuáles son variables exógenas. Por último, Roy e Yvrande-Billon (2007) plantean primero una serie de hipótesis respecto a las variables exógenas, estudiando, mediante test estadísticos, la validez o no de dichas hipótesis. Una vez hecho esto, incluyen esas variables en el modelo, desechando el método de las dos etapas.
Algunos autores, frente a la disyuntiva entre utilizar los modelos frontera paramétricos y los no paramétricos en la obtención de la ineficiencia técnica (ver apartado 3.1.2), aplican ambos métodos siempre que es posible, dada la necesidad de información precisa, y después comparan los resultados (De Borger y Kerstens, 1996; Cummins y Zi, 1998; Murillo-Zamorano y Vega-Cervera, 2001). Estos estudios concluyen que el método utilizado es determinante a la hora de establecer una clasificación de DMUs en función de su eficiencia. Murillo-Zamorano y Vega-Cervera (2001) indican que los métodos paramétricos son útiles para el estudio de los costes de los factores de producción, ya que pueden utilizar los valores de los precios. En cambio, los métodos no paramétricos son más apropiados para evaluar la
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eficiencia técnica. Por otro lado, en Brons et al. (2005) se realiza un meta-análisis con distintos estudios sobre eficiencia técnica, concluyendo que los resultados de los métodos paramétricos y los no paramétricos son bastante similares. Cullinane et al. (2006) también hallan importantes correlaciones entre los resultados de ambos métodos, al aplicarlos a terminales de contenedores. Por tanto, no parece claro cuál de los dos métodos es mejor, aunque las limitaciones de uno y otro pueden acabar determinando su uso, según las circunstancias.
Por último, algunos estudios tratan de combinar ambos métodos de evaluación. Así en Fried (1999, 2002), Avkiran y Rowlands (2008) y Avikiran (2009), se desarrolla una metodología de varias etapas en las que se aplican, combinadamente, métodos no paramétricos y paramétricos, intentando aprovechar las fortalezas de cada uno y evitando sus debilidades.
Si en vez de funciones de producción, tal como se ha explicado a lo largo de este apartado, se usan las funciones de costes, similares a la expresada en (3.1), se puede estimar la eficiencia en la asignación de recursos del conjunto de DMUs mediante el estudio de la elasticidad de los factores de producción. En la tabla 3 – 3 (al final del capítulo) se recopilan algunos trabajos que utilizan estas funciones en la evaluación del transporte público urbano.