Lewis Carrol (seudónimo de C. L. Dogson), el autor de Alicia en el país de las maravillas, es también autor de varios trabajos de lógica simbólica. Sus libros contienen muchos ejemplos de razonamiento que utilizan cuantificadores. Los siguientes dos ejemplos provienen de su libro Lógica Simbólica.
Ejemplo 18. Consideremos las siguientes frases. Las dos primeras se llaman premisas y la tercera se llama conclusión. El conjunto de las tres se denomina argumento.
“Todos los leones son fieras” “Algunos leones no toman café”
“Algunos animales fieras no toman café”
(En la sección 3.14 discutiremos el hecho de determinar si la conclusión es una consecuencia válida de las premisas. En este ejemplo, sí lo es). Sean P(x), Q(x) y R(x) las expresiones “x es un león”, “x es una fiera” y “x toma café”, respectivamente.
75 Suponiendo que el dominio es el conjunto de todos los animales, expresar las proposiciones del argumento anterior utilizando las funciones proposicionales P(x), Q(x) y R(x), cuantificadores y conectivos lógicos.
Solución. Estas proposiciones se pueden expresar como:
x(P(x)Q(x)) x(P(x)R(x)) x(Q(x)R(x)).
Se debe tener en cuenta que la segunda proposición no se puede escribir como )) ( ) ( (P x R x x
. La razón es que P(x)R(x) es verdadera siempre que x no sea un león, por lo que x(P(x)R(x)) es verdadera mientras haya al menos un animal que no sea un león, incluso si todo león toma café. De forma similar, la tercera proposición no puede escribirse como x(Q(x)R(x)).
Ejemplo 19. Consideremos las siguientes frases, de las cuales las tres primeras son premisas y la cuarta es una conclusión válida.
“Todos los colibríes tienen el plumaje de vivos colores”. “No hay pájaros grandes que liben néctar”.
“los pájaros que no liban néctar tienen el plumaje de colores pálidos”. “Los colibríes son pequeños”.
Sean P(x), Q(x), R(x) y S(x) las expresiones “x es un colibrí”, “x es grande”, “x liba néctar” y “x tiene el plumaje de vivos colores” respectivamente. Suponiendo que el dominio es el conjunto de todos los pájaros, expresar las proposiciones del argumento anterior utilizando P(x), Q(x), R(x) y S(x), cuantificadores y conectivos lógicos.
Solución. Podemos expresar las proposiciones de este argumento como:
x(P(x)S(x)). x(Q(x)R(x)). x(R(x)S(x)).
.
(Hay que tener en cuenta que hemos asumido que “pequeño” es lo mismo que “no grande” y que “plumaje de colores pálidos” es lo mismo que “plumaje de colores no vivos”).
Ejercicios
1. Traduzca de dos formas cada una de las siguientes frases a expresiones lógicas utilizando funciones proposicionales, cuantificadores y conectivos lógicos. En primer
)) ( ) ( (P x Q x x
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lugar, el dominio consistirá en los estudiantes de tu clase, y en segundo lugar, será el conjunto de todas las personas.
a) Alguien de tu clase habla Inglés. b) Todos en tu clase son amigables.
c) Hay una persona en tu clase que no nació en Bogotá. d) Un estudiante de tu clase ha visto una película.
e) Ningún estudiante de tu clase ha cursado una asignatura de lógica.
2. Traduzca cada una de las siguientes frases a expresiones lógicas utilizando funciones proposicionales, cuantificadores y conectivos lógicos. El dominio es el conjunto de todas las personas.
a) Nadie es perfecto.
b) No todo el mundo es perfecto. c) Todos tus amigos son perfectos. d) Cada uno de tus amigos es perfecto. e) Todo el mundo es tu amigo y es perfecto.
f) No todo el mundo es tu amigo o alguien no es perfecto.
3. Traduzca cada una de las siguientes frases a expresiones lógicas de tres formas diferentes, variando el dominio y utilizando funciones proposicionales con una y con dos variables.
a) Un estudiante de tu universidad ha vivido en Cali. b) Hay un estudiante de tu facultad que no habla ruso. c) Un estudiante de tu facultad sabe Java, Prolog y C++. d) A todo el mundo en tu facultad le gusta la comida italiana. e) Alguien de tu clase no juega ajedrez.
4. Exprese cada una de las siguientes frases utilizando funciones proposicionales, cuantificadores y conectivos lógicos.
a) Algunas proposiciones son tautologías.
b) La negación de una contradicción es una tautología.
c) La disyunción de dos contingencias puede ser una tautología. d) La conjunción de dos tautologías es una tautología.
5. Suponga que el dominio para consiste en , y .
Escriba las siguientes proposiciones utilizando disyunciones y conjunciones. a) b)
c) d)
6. Exprese cada una de las siguientes frases utilizando cuantificadores. Luego forme la negación de la proposición de tal forma que ninguna negación quede a la izquierda del cuantificador. Después, exprese la negación en lenguaje natural. (No use simplemente las palabras “No se da el caso de que …”).
a) Algunos perros viejos pueden aprender trucos nuevos. b) Ningún conejo sabe cálculo.
c) Todos los pájaros pueden volar. ) , , (x y z Q x0,1o2 y0o1 z 0o1 ) 0 , , 0 ( y yQ xQ(x,1,1) ) , 0 , 0 ( z Q z xQ(x,0,1)
77 d) No hay perro alguno que pueda hablar.
e) No hay nadie en la clase que hable francés y ruso.
7. Halle un contraejemplo, si es posible, para las siguientes proposiciones cuantificadas universalmente, donde el dominio para todas las variables consiste del conjunto de los números reales.
a) b) c) c)
8. Exprese cada una de las siguientes proposiciones utilizando funciones proposicionales y cuantificadores.
a) Un pasajero de una aerolínea es considerado viajero elite si vuela más de 40.000 km al año o toma más de 25 vuelos durante el año.
b) Un hombre se clasifica para la maratón si su mejor tiempo es inferior a tres horas y una mujer se clasifica para la maratón si su mejor tiempo es inferior a tres horas y media.
c) Un estudiante debe tomar al menos 60 horas de clase en el curso, o al menos 45 horas de clase en el curso, y hacer una monografía y que obtenga una calificación no inferior a 4.0 en todas las asignaturas requeridas para recibir la graduación. d) Hay un estudiante que ha recibido más de 36 horas de clase en un semestre y ha
sacado un promedio de 3.5.
9. Traduzca las siguientes expresiones a lenguaje natural, donde es “La impresora está fuera de servicio”, es “La impresora está ocupada”, es “El trabajo de impresión se ha perdido” y es “El trabajo de impresión está en cola” a)
b) c) d)
10. Exprese cada una de las siguientes proposiciones utilizando funciones proposicionales, cuantificadores y conectivos lógicos
a) Se puede guardar al menos un mensaje de correo si hay un disco con más de 10 kilobytes de espacio libre.
b) Siempre que haya una alerta activa, se transmitirán todos los mensajes en cola. c) El monitor de diagnóstico vigila es estado de todos los sistemas menos el de la
consola central.
d) Se le envía una factura a cada participante en la conferencia a quien el responsable no haya puesto en una lista especial.
Los ejercicios 11-13 se basan en preguntas del libro de Lógica Simbólica, de Lewis Carroll. 11. Sean , y las afirmaciones “ es un profesor”, “ es ignorante” y “
es inepto”, respectivamente. Exprese cada una de las siguientes proposiciones ) (x2 x x x(x2 2) ) 0 ( x x x(x2 x) ) ( p F p B( p) p L( j) j Q( j) j ) ( )) ( ) ( (F p B p jL j p ) ( ) (p jQ j pB ) ( )) ( ) ( (Q j L j pF p j ) ( )) ( ) ( (pB p jQ j jL j ) (x P Q(x) R(x) x x x
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utilizando , y , cuantificadores y conectivos lógicos, donde el dominio consiste de todas las personas.
a) No hay profesores ignorantes. b) Toda la gente ignorante es inepta. c) No hay profesores ineptos.
d) ¿Se sigue (c) de (a) y (b)? Si no es así, ¿existe una conclusión correcta?
12. Sean , , y las afirmaciones “ es un bebé”, “ es lógico”, “ es capaz de dominar a un cocodrilo” y “ es despreciado”, respectivamente. Exprese cada una de las siguientes proposiciones utilizando , , y , cuantificadores y conectivos lógicos, donde el dominio consiste de todas las personas. a) Los bebés son ilógicos.
b) Nadie que pueda dominar a un cocodrilo es despreciado. c) Las personas ilógicas son despreciadas.
d) Los bebés no pueden dominar a un cocodrilo.
e) ¿Se sigue (d) de (a), (b) y (c)? Si no es así, ¿existe una conclusión correcta?
13. Traduzca cada una de las siguientes proposiciones utilizando funciones proposicionales, cuantificadores y conectivos lógicos, donde el dominio consiste de todos los animales. a) Todos los leones son predadores.
b) Algunos leones viven en África. c) Sólo rugen los leones.
d) Algunos leones comen cebras. e) Algunos leones sólo comen cebras.