número primo” se denota por xP(x).
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3.4. El cuantificador universal
Muchas proposiciones matemáticas aseguran que una propiedad es verdadera para todos los valores de una variable en un dominio particular. El cuantificador universal de una función proposicional es la proposición que afirma que P(x) es verdadera para todos los valores de x en el dominio.
La proposición xP(x) se lee como “para todo x P(x)”, “para cada x P(x)” o “para cualquier x P(x)”.
Ilustraremos el uso del cuantificador universal en los ejemplos 4-9.
Ejemplo 4. Sea P(x) la expresión “x1x”. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición xP(x), donde el dominio consiste de todos los números reales?
Solución. Como P(x) es verdadera para todo número real x, la proposición xP(x) es verdadera.
Ejemplo 5. Sea Q(x) la expresión “x2”. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición )
(x xQ
, donde el dominio consiste de todos los números reales?
Solución. Q(x) no es verdadera para todo número real x. Por ejemplo, Q(3) es falsa. Por lo tanto, xQ(x) es falsa.
Cuando todos los elementos del dominio se pueden enumerar; escribiéndolos, por ejemplo, como x , 1 x , …, 2 x , se sigue que la proposición n xP(x) es lo mismo que la conjunción
) ( ... ) ( ) (x1 P x2 P xn
P , puesto que esta conjunción es verdadera si, y sólo si, )
(x1
P , P(x2), …, P(xn) son todas verdaderas.
Ejemplo 6. ¿Cuál es el valor de verdad de xP(x), donde P(x) es la expresión “x2 10” y el dominio consiste de los enteros positivos menores o iguales que 4?
Solución. La proposición xP(x) es lo mismo que la conjunción (1)P P(2)P(3)P(4), ya que el dominio consiste de los enteros 1, 2, 3 y 4. Como P(4), la proposición “42 10”, es falsa, se sigue que xP(x) es falsa.
Ejemplo 7. ¿Qué significa la proposición xT(x) si T(x) es la expresión “x tiene un padre y una madre” y el dominio consiste de todas las personas?
Solución. Como el dominio son todas las personas, la proposición xT(x) significa que toda persona x tiene un padre y una madre. La proposición se puede expresar en lenguaje natural como “Toda persona tiene dos padres”. La proposición es verdadera (excepto para seres clonados, si los hay).
67 Ejemplo 8. ¿Cuál es el valor de verdad de x(x2 x) si el dominio consiste de todos los números reales y cuál es el valor de verdad si el dominio son todos los enteros?
Solución. x2 x si, y sólo si, x2 xx(x1)0. En consecuencia, x2 x si y sólo si, 0
x o x1. Se sigue que x(x2 x) es falsa si el dominio consiste de todos los números reales (ya que la desigualdad es falsa para los números reales x tales que 0 x1). Sin embargo, si el dominio consiste de todos los números enteros x(x2 x) es verdadera por no haber enteros x tales que 0 x1.
Para mostrar que una proposición de la forma xP(x) es falsa, donde P(x) es una función proposicional, sólo necesitamos encontrar un valor de x del dominio para el cual P(x) sea falsa. Este valor de x se llama contraejemplo de la proposición xP(x).
Ejemplo 9. Supongamos que P(x) es “x2 0”. Para mostrar que la proposición xP(x) es falsa cuando el dominio son todos los enteros, daremos un contraejemplo. Vemos que
0
x es un contraejemplo, ya que x2 0 cuando x0, por lo que no es mayor que 0 cuando x0.
Buscar contraejemplos de proposiciones que contienen al cuantificador universal es una actividad importante en el estudio de las matemáticas, como se verá en las secciones siguientes.
3.5. El cuantificador existencial
Muchas proposiciones matemáticas afirman que hay un elemento con una cierta propiedad. Tales proposiciones se expresan mediante cuantificadores existenciales. Con un cuantificador existencial formamos una proposición que es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para al menos un valor de x en el dominio.
La proposición xP(x) se lee como “existe x tal que P(x)”, “hay un x tal queP(x)”, “hay al menos un x tal queP(x)” o “para algún x P(x)”
Ilustraremos el uso del cuantificador existencial en los ejemplos 10-12.
Ejemplo 10. Sea P(x) la expresión “x3”. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición )
(x xP
, donde el dominio consiste de todos los números reales?
Solución. Como “x3” es verdadera, por ejemplo, para x4, la proposición xP(x) es verdadera.
Ejemplo 11. Sea Q(x) la expresión “xx1”. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición xQ(x), donde el dominio consiste de todos los números reales?
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Solución. Como Q(x) es falsa para todo número real x, la proposición xQ(x) es falsa. Cuando todos los elementos del dominio se pueden enumerar; escribiéndolos, por ejemplo, como x , 1 x , …, 2 x , se sigue que la proposición n xP(x) es lo mismo que la disyunción
) ( ... ) ( ) (x1 P x2 P xn
P , puesto que esta disyunción es verdadera si, y sólo si, al menos uno de P(x1), P(x2), …, P(xn) es verdadera.
Ejemplo 12. ¿Cuál es el valor de verdad de xP(x), donde P(x) es la expresión “x2 10” y el dominio consiste de los enteros positivos menores o iguales que 4?
Solución. Como el dominio es
1,2,3,4
, la proposición xP(x) es lo mismo que la disyunción P(1)P(2)P(3)P(4). Como P(4), la proposición “42 10”, es verdadera, se sigue que xP(x) es verdadera.En la siguiente tabla se resume el significado del cuantificador universal y el del cuantificador existencial.
Cuantificadores
Proposición ¿Cuándo es verdadera? ¿Cuándo es falsa?
) (x xP
P(x) es verdadera para todo x Hay un x para el que P(x) es falsa
) (x xP
Hay un x para el que P(x) es verdadera P(x) es falsa para todo x
Cuando se quiere determinar el valor de verdad de una proposición cuantificada, a veces es útil realizar una búsqueda sobre todos los posibles valores del dominio. Supongamos que hay n individuos en el dominio de la variable x. Para determinar si xP(x) es verdadera, podemos barrer los n valores de x y ver si P(x) es verdadera para todos ellos. Si encontramos un valor de x para el cual P(x) es falsa, habremos demostrado que xP(x) es falsa. En caso contrario, xP(x) es verdadera. Para ver si xP(x) es verdadera, barremos los n posibles de x buscando algún valor para el cual P(x) sea verdadera. Si encontramos uno, entonces xP(x) es verdadera. Si no encontramos tal valor de x, habremos determinado que xP(x) es falsa. (Obsérvese que este procedimiento de búsqueda no puede ser aplicado si el dominio se compone de infinitos elementos. Aun así, sigue siendo una forma útil trabajar con cuantificadores).
3.6. Variables ligadas
Definición 3.5 Cuando un cuantificador se usa sobre la variable x o cuando asignamos un