El mecanismo de rotura desarrollado por Mollon et al. (2011b) es de aplicación a túneles excavados en suelos, caracterizados por el criterio de rotura lineal de Mohr-Coulomb ( = + c· tan ').
Las dos hipótesis que definen la forma del mecanismo son las siguientes:
• En el colapso del frente se produce el movimiento rotacional de un único bloque rígido alrededor de un eje perpendicular al plano de simetría vertical del túnel. (Paralelo al Eje x de la Figura 49.a).
• El bloque que colapsa interseca la totalidad de la sección circular del frente del túnel.
Estas hipótesis se hicieron después de observar cómo se producía el colapso del frente, tanto en simulaciones numéricas (Dias et al., 2008) como en ensayos de laboratorios (Chambon y Corté, 1994).
Además de estos condicionantes cinemáticos, se debe verificar la hipótesis de flujo asociado del teorema de contorno superior del Análisis Límite, por la que en cada punto de la superficie de deslizamiento, ésta debe formar un ángulo con el vector velocidad en dicho punto igual al ángulo de rozamiento.
Incluso en un suelo homogéneo del tipo Mohr-Coulomb, no existe una superficie sencilla que satisfaga las hipótesis cinemáticas anteriores y la condición de flujo asociado. Los mecanismos de rotura propuestos por Leca y Dormiuex (1990) están formados por conos de revolución que respetan la condición de flujo asociado, pero consideran un movimiento traslacional del bloque que colapsa y una rotura incompleta de la sección del frente.
Mollon et al. (2011b) definieron un proceso de discretización complejo para generar la superficie exterior del mecanismo de rotura, empleando para ello una colección de caras triangulares que respetaban de manera local la condición de flujo asociado.
El método y las ecuaciones para la generación del mecanismo se describen en detalle en Mollon et al. (2011b). No obstante, se incluye a continuación una extensa descripción del mecanismo con el objetivo de poder explicar los cambios necesarios para su generalización, los cuales permiten su aplicación en terrenos heterogéneos o con un criterio de rotura no-lineal.
Según se observa en la Figura 49, son necesarios dos niveles de discretización para construir el mecanismo. El primer nivel consiste en discretizar el perímetro circular del frente del túnel en puntos y ′ (con variando entre 1 y ⁄2, Figura 49.b). El segundo nivel de discretización implica definir un haz de planos, denominados Π, que contienen al eje de rotación del mecanismo (Ox).
Figura 49. Discretizaciones empleadas para la generación del mecanismo de rotura: (a) sistema de referencia; (b) sección transversal del túnel con los puntos situados en su perímetro; (c) sección
Como se muestra en la Figura 49.c, el mecanismo se divide en dos Secciones. La Sección 1 corresponde a los planos Π con variando entre 1 y ⁄2, de tal forma que cada uno de estos planos contiene dos de los puntos situados en el frente ( y ′). Mientras, la Sección 2 corresponde a los planos Π con > ⁄2. En esta sección cada plano rota un ángulo respecto al plano anterior, hasta alcanzar el Punto 3 que es el extremo del mecanismo. De esta forma, el proceso de generación del mecanismo sólo depende de dos parámetros de discretización: y .
Para obtener el conjunto de caras triangulares que definen la superficie externa del mecanismo se sigue el esquema que se muestra en la Figura 50. Si se conocen dos puntos P, y Pa,pertenecientes al Plano Π, es posible definir un nuevo punto P,a en el Plano Πa, de tal forma que la cara triangular (P,, Pa,, P,a) cumpla la condición de flujo asociado; es decir, que su vector normal forme un ángulo 2⁄ + I con el vector velocidad. A esta cara se le denomina 3P,. De igual modo, si se realiza esta misma operación a partir de los puntos Pa, y Pb,, se puede obtener la posición del punto Pa,a y con ello definir la cara opuesta (Pa,, P,a, Pa,a), denominada 3′P, (Figura 50).
Figura 50. Principio para la generación punto a punto de la superficie externa del mecanismo de rotura (Senent et al., 2013).
Este proceso se inicia en los puntos pertenecientes al frente del túnel ( y ′) y se detiene en el extremo del mecanismo (Punto 3). Al terminar la generación del mecanismo, la superficie externa del
mismo queda definida por el conjunto de caras triangulares 3P, y 3′P,. De esta forma, se puede calcular su volumen, su peso, etc.
Cuando se ha definido en su totalidad la superficie externa del mecanismo de rotura, la presión de colapso se calcula aplicando la ecuación fundamental del teorema de contorno superior del Análisis Límite. Ésta establece que la velocidad de disipación de energía en el sistema es igual a la variación del trabajo aplicado sobre el mismo por las cargas actuantes. En este caso, asumiendo que el mecanismo no alcanza la superficie, las fuerzas actuantes sobre el mecanismo son su peso propio y la presión aplicada en el frente. Suponiendo que el bloque se mueve con una velocidad angular , las expresiones de las variaciones de trabajo de estas fuerzas vienen dadas por:
We= ω · γ · RT,· VT,· sin βT,+ R′T,· V′T,· sin β′T,
T, (5)
We = −ω · σ· Σ· R· cos β
(6)
La única disipación de energía en el sistema se produce en la superficie de deslizamiento y es proporcional a la cohesión :
We= ω · c · cos ϕ RT,· ST,+ R′T,· S′T,
T, (7)
Los términos Σ, P,, ′P,, P,, ′P,, P,, ′P, son términos geométricos obtenidos durante el proceso de generación y están definidos en Mollon et al. (2011b). De manera más concreta, Σ, P,, P,, P, corresponden a la cara 3P,, mientras que ′P,, ′P,, ′P, están relacionados con la cara 3′P,. Después de aplicar la ecuación del trabajo y de llevar a cabo algunas simplificaciones, la presión crítica viene dada por la siguiente expresión:
σ=γ · ∑ RT, T,· VT,· sin βT,+ R′T,· V′∑ ΣT,· sin β′T,− c · cos ϕ ∑ RT, T,· ST,+ R′T,· S′T, · R· cos β
(8)
Esta expresión, sin embargo, sólo es válida para el mecanismo de rotura dado por una posición determinada del centro de rotación O (Figura 49.c). La mejor solución de contorno superior se obtiene, entonces, mediante la maximización de la Ecuación (8) respecto a los dos parámetros geométricos que definen el punto O.
3.2.
Modificación del proceso de generación del mecanismo en el caso
de una variación espacial de φ
En el caso de un terreno heterogéneo o con un criterio de rotura no-lineal, puede darse, como se verá en los siguientes capítulos, una variación espacial del ángulo de rozamiento y de la cohesión. Esta variación debe contemplarse en la generación del mecanismo, de tal forma que se pueda considerar un ángulo de rozamiento no constante a lo largo de la superficie de rotura. Este hecho repercute de manera sustancial en el proceso de generación del mecanismo presentado por Mollon et al. (2011b) y descrito en el apartado anterior.
Uno de los aspectos principales para la generación del mecanismo, según se ha descrito, es la obtención de las coordenadas del Punto 3, punto final del mecanismo, puesto que permiten:
• Conocer en qué valor del índice se debe detener la generación al alcanzar el extremo del mecanismo.
• Definir el radio "z = ¢3 del círculo en el cual se sitúan los puntos C. Como se muestra en la Figura 50, estos puntos están contenidos en cada plano Π y son necesarios antes de empezar el proceso de generación.
El cálculo de las coordenadas de 3 resulta, por lo tanto, crucial. En el caso de un terreno homogéneo con un criterio de rotura de Mohr-Coulomb, el cálculo es inmediato, puesto que el Punto 3 es la
intersección de dos espirales logarítmicas de parámetro tan ' que nacen de la clave y contrabóveda del túnel. Estas dos curvas son, de hecho, los contornos exactos del mecanismo en el plano de simetría vertical del túnel. En el mecanismo generalizado, la posición del Punto 3 se obtiene empleando un proceso basado en el propuesto en Mollon et al. (2011c) en una versión 2D de este mecanismo: en lugar de definir las curvas límites del mecanismo en el plano de simetría vertical mediante dos espirales logarítmicas, se definen como una sucesión de segmentos, los cuales, de manera local, respetan la condición de flujo asociado. En la Figura 51 se muestra el procedimiento a seguir. La curva que nace de A (respectivamente de ¤) está compuesta por una sucesión de puntos A (respectivamente B) pertenecientes a los planos Π. La determinación de la posición del punto Aa a partir del punto A perteneciente a Π se fundamenta en que:
• El punto Aa pertenece al plano Πa.
• El segmento AAa forma un ángulo π 2⁄ − ϕA con el vector velocidad, siendo ϕA el valor local de ϕ en las coordenadas de A.
El mismo método se sigue para calcular la posición del punto Ba a partir del punto B. Este proceso iterativo se inicia en los puntos A y ¤ y se detiene cuando las dos curvas se encuentran en el extremo final del mecanismo. El Punto 3 se define como la intersección de esas dos curvas. En Mollon et al. (2011c) se pueden encontrar más detalles de este procedimiento.
Debido a la variabilidad espacial del ángulo de rozamiento, durante la obtención de un nuevo punto P,a a partir de los dos puntos existentes P, y Pa, del plano previo, la condición de flujo asociado de la cara 3P, debe verificarse con respecto al valor local del ángulo de rozamiento I(W, §, ¨). En este trabajo, se ha tomado este valor local en el punto medio del segmento P,Pa,.
Por último, la expresión de la energía disipada debe generalizarse debido a que los valores de la cohesión y del ángulo de rozamiento son diferentes para cada cara 3P, y 3′P,. El resultado es la Ecuación (9), donde es la velocidad angular del mecanismo de rotura. Por la misma razón, la presión crítica dada por la Ecuación (8) deja de ser válida y debe calcularse empleando la nueva expresión mostrada en (10).
We= ω · cT,· cos ϕT,· RT,· ST,+ c′T,· cos ϕ′T,· R′T,· S′T,
T, (9)
σ=γ · ∑ RT, T,VT,· sin βT,+ R′T,V′T,· sin β′∑ ΣT,− ∑ cT, T,cos ϕT,· RT,ST,+ c′T,cos ϕ′T,· R′T,S′T, · R· cos β
(10)
En estas expresiones, P, y 'P, (respectivamente ′P, y '′P,) son los valores de la cohesión y del ángulo de rozamiento en el centroide de 3P, (respectivamente 3′P,). Al igual que la Ecuación (8), la Ecuación (10) sólo es válida para una posición dada del centro de rotación del mecanismo (O), por lo que, para encontrar la presión crítica se debe maximizar la Ecuación (10) con respecto a los dos parámetros que definen O.
Una vez incorporadas estas modificaciones en el mecanismo, se puede emplear éste para analizar la estabilidad del frente de túneles excavados en terrenos con propiedades variables. En los dos
capítulos que siguen se analizan dos situaciones particulares que requieren de esta generalización. La primera de ellas corresponde a túneles excavados en terrenos estratificados, mientras que en la segunda se analiza la estabilidad del frente de túneles excavados en macizos rocosos fracturados. Cada una de estas situaciones exige modificaciones adicionales del mecanismo, pero que al ser específicas de cada caso se desarrollan en los capítulos correspondientes.
El mecanismo generalizado se ha implementado en MATLAB (MATrix LABoratory) (The MathWorks, 2012). En el Apéndice 1 se incluyen los archivos que forman el código del mecanismo.