Chapter summary

Para algunos físicos, la teoría de los fenómenos térmicos que acaba­ mos de esbozar era plenamente satisfactoria como una teoría autóno­ ma fundamental de la física. No veían ninguna razón para reducirla en alguna forma a una teoría más profunda, ni ninguna necesidad de dar explicaciones en cuanto a porqué sus proposiciones básicas eran ver­ daderas. Pero para otros, la teoría clamaba por una explicación más profunda. ¿Qué

era

, en último término, el calor, esa cosa convertible en, y a partir de energía mecánica? ¿Cuál era la característica de los sistemas por la que éstos poseían una temperatura específica? ¿Porqué existían los estados de equilibrio de los sistemas y porqué, admitiendo que existiesen, tenían la estructura particular que mostraban tener? Y, lo más importante de todo, ¿cuál era el origen de la extraña asimetría en el tiempo del mundo, la asimetría revelada en el hecho de que los sistemas fuera del equilibrio, dejados a su suerte, se movían uniforme­ mente hacia la condición de equilibrio, siempre en la dirección futura del tiempo, y una vez obtenido el equilibrio, permanecían en él?

Aunque la idea de que el calor era un tipo de energía en movi­ miento de pequeños componentes del sistema macroscópico, compo­ nentes tan pequeños que sus movimientos individuales no eran de-

I6K Filosofía de la física

tcctables directamente a gran escala, fue objeto de especulación por F. Bacon, J. Bernoulli y otros, fue sólo en el siglo XIX cuando esta idea logró imponerse. Pero, aun cuando el calor fuese movimiento, ¿qué tipo de movimiento era? Los sistemas podían, después de todo, tener una estructura microscópica muy compleja y sutil. Dos pensadores británicos, J. Herepath y J. Waterston, sugirieron ambos que la situa­ ción era muy simple para los gases. Estos estaban formados, dijeron estos pensadores, por partículas minúsculas que pasaban la mayor parte de su tiempo en movimiento libre, interaccionando sólo por colisión unas con otras y con las paredes del recipiente. El contenido de calor de un sistema era meramente la energía de este movimiento de sus partes microscópicas. Pero sus sugerencias fueron ignoradas. Finalmente, cuando estas ideas fueron expuestas por los físicos ale­ manes A. Krónig y Clausius, obtuvieron la atención que merecían.

Supongamos un gas en una caja compuesto por partículas peque­ ñas en su mayoría en movimiento libre. Si suponemos simplemente que el calor es la energía total de este movimiento y que está distri­ buido uniformemente entre las moléculas, entonces resultados tales como la Ley de los Gases Ideales, que establece una relación entre la presión, el volumen y la temperatura del gas en equilibrio, pueden derivarse fácilmente. La presión. es-al-reoultnckr t lcl -choque de las partículas con las pare'descfeí recipiente, y la temperatura una medi- ~“da~de sus energías individuales de movimiento. Suponiendo qtre las moléculas colisionan unas con otras, podemos resolver enigmas tales como porqué, si las partículas (es decir, las moléculas) están en tan rápido, casi libre, movimiento, la difusión de un gas de un lado a otro de una habitación es tan lenta como indica su medición.

El siguíente avarice importante fue la observación hecha por J. C. Maxwell en el sentido de que la suposición según la cual en el equili­ brio cada molécula tenía la misma velocidad era inverosímil. Hacien­ do uso de un argumento ingenioso, aunque no del todo convincente, derivó una curva que establecía una distribución de velocidades para las moléculas del gas en equilibrio. Algunas se movían muy despacio y otras muy rápido, mostrando una concentración en torno a un va­ lor medio. ¿Podía darse a este resultado una justificación mejor, más convincente? Aquí L. Boltzmann nos dejó su mayor contribución. Boltzmann preguntó cómo esperaríamos que evolucionase un gas que no estuviera en equilibrio. La evolución tendría lugar debido al movimiento de las moléculas y, en particular, al intercambio de ener­

gía entre unas y otras por colisión. ¿Podía demostrarse que si el gas partía de una distribución de velocidades distinta a la de Maxwell, se aproximaría por este proceso de intercambio de energía a la distribu­ ción de Maxwell para permanecer en ella?

Mediante suposiciones plausibles, una de las cuales la examinare­ mos en sus pormenores brevemente, Boltzmann fue capaz de derivar una ecuación para la evolución de la función distribución de velocida­ des. Mostró que la distribución maxwelliana era una solución estacio­ naria de la ecuación, de manera que, una vez alcanzada, no cambiaría. Fue capaz de definir una función distribución de velocidades y de­ mostrar que, hasta que esta función no alcanzase su valor mínimo (ob­ tenido para la distribución de Maxwell), la distribución de velocidades no sería éstacionaria. Así pues, la distribución de Maxwell era la

única

solución estacionaria de la ecuación. En conjunto, esto parecía expli­ car porqué un gas fuera del equilibrio evolucionaría hacia el equilibrio y porqué, una vez alcanzado el equilibrio, permanecería en él.

Pero ahora comenzaron los problemas. Primero, los críticos ad­ virtieron que los sistemas estaban supuestamente compuestos por moléculas que obedecían las leyes de la dinámica clásica. Pero en tanto que un tal sistema cualquiera esté aislado y la energía se con­ serve, lo cual es cierto en este caso, debería evidenciar el resultado de H. Poincaré: El sistema con punto de partida en un estado diná­ mico dado retornaría un número infinito de veces a estados muy pró­ ximos al estado original. Pero, entonces, ¿cómo podía tener razón Boltzmann al afirmar que un sistema inicialmente en un estado de no equilibrio evolucionaría al estado de equilibrio y permanecería en él? Otro resultado de la dinámica clásica nos dice que si un sistema evo­ luciona desde el estado 51 al estado 52, evolucionará desde un estado similar al 52, salvo con todas las direcciones de movimiento invertidas, al «inverso temporal» del estado 51. Llamemos a los estados invertidos temporalmente 51' y 52'. La evolución de 52' a 51' ', si 52', al igual que 52, describe un estado de equilibrio, y 51', al igual que 51, un estado de no equilibrio, violaría la ecuación de Boltzmann, que siempre describe la evolución hacia el equilibrio. ¿Cómo puede entonces la ecuación de Boltzmann ser consistente con la dinámica clásica? (Véase las figuras 3.1 y 3.2.)

Es en este punto donde las ideas probabilísticas comienzan a ju­ gar un papel en las diferentes versiones de la teoría. ¿Podría suceder que la ecuación de Boltzmann no describa cómo debe comportarse

170 Filosofía de la física

Fig u r a 3.1.

La recurrencia de Poincaré.

Trabajamos en el espacio de fases donde un solo punto representa el estado m icroscópico exacto de un sistema en un momento dado, esto es, la posición y velocidad de cada molécula en un gas. Poincaré demuestra que para ciertos sistemas (un gas encerrado en una caja y aislado energéticamente del mundo exterior es uno de tales sistemas), si un tal sistema parte de un estado micros­ cópico dado, o, entonces, excepto para un número «infinitamente pequeño» de dichos estados iniciales, cuando se sigue la evolución del sistema a lo largo de la curva

p,

se encontrará que el sistema, para cualquier región pequeña de microestados en torno al microestado original, o, «regresará» a un microestado en esa pequeña región,

E.

Así pues, «casi todos» los sistemas de esta índole que parten de un estado dado regresa­ rán en algún momento a un estado microscópico «muy próximo» al estado inicial.

cada sistema, sino sólo cómo se comportarán

probablemente

los siste­ mas? Si bien, entonces esperaríamos una evolución hacia el equili­ brio con una probabilidad abrumadora, también esperaríamos casos raros donde un sistema en no equilibrio evoluciona apartándose aun más del equilibrio o donde un sistema en equilibrio evoluciona a un estado de no equilibrio. Pero aquí uno tiene que andar todavía con mucho cuidado. El teorema de recurrencia de Poincaré nos dice que podemos estar seguros probabilísticamente de que los sistemas que parten de una condición dada de no equilibrio regresarán en algún momento a una condición de no equilibrio tan próxima como uno quiera a aquélla de la que partieron. Así, ¿cómo puede ser probable una aproximación monótona al equilibrio? Además, para toda evolu­ ción del no equilibrio al equilibrio, hay una posible evolución inver­ sa. Entonces, ¿no deberían ser las evoluciones en ambas direcciones igualmente probables?

La respuesta de Boltzmann, aclarada por P. y T. Ehrenfest, pre­ senta varias componentes importantes. Primero está el descubrimien­ to de Boltzmann de una nueva forma de derivar la distribución de velocidades en el equilibrio. Imaginemos todas las formas posibles en que las moléculas se pueden colocar en «cajas» pequeñas en un espa-

b

S(b) > S(a)

• a'

S(b') > S(a')

Fig u r a 3.2.

El argumento de Loschmidt sobre la «reversibilidad».

Sea un sistema que par­ te de un microestado

a

y evoluciona a un microestado

b.

Supongamos, como es de es­ perar, que la entropía del estado

b, S(b),

es mayor que la del estado

a, S(a).

Entonces, dada la invariancia bajo inversión temporal de las leyes dinámicas subyacentes que ri­ gen la evolución del sistema, debe haber un microestado,

b',

que evoluciona a un mi­ croestado,

a\

y tal que la entropía de

b’

es igual a la de

b

y la entropía de

a'

es igual a la de

a

(según la definición por Boltzmann de entropía estadística). A sí pues, a cada evolución «termodinámica» en la que la entropía aumenta debe corresponder una po­ sible evolución «antitermodinámica» en la que la entropía disminuye.

ció abstracto, correspondiendo a pequeñas regiones de posición y mo­ mento. El momento es crucial aquí: si utilizamos la velocidad o la energía obtendremos resultados erróneos. Al mover una molécula de una caja a otra, obtenemos un nuevo ordenamiento. No obstante, m u­ chas permutaciones de las moléculas pueden corresponder a un mis­ mo estado de «combinación», es decir, un estado caracterizado por números de moléculas en cada caja, irrespectivamente de qué molécu­ la particular se encuentre en cada caja. La distribución de equilibrio es el estado de combinación correspondiente a la combinación domi­ nante obtenida por un número ostensiblemente grande de permuta­ ciones de las moléculas en las cajas. En general, las combinaciones cerca del equilibrio son obtenibles por un amplio número de permu­ taciones. Las combinaciones correspondientes a los estados macroscó­ picos lejos del equilibrio son obtenibles sólo por un número muchísi­ mo menor de permutaciones. Si consideramos que cada permutación

172 Filosofía de la física

V

v----_sistema'r - \ i—y -y

Fi g u r a 3 .3 .

La imagen«simétrica en el tiempo» de Boltzmann.

E n esta imagen del m un­ do, se propone que un sistema aislado cuya entropía es

Ssl¡lrm

«a lo largo de un tiem­ po infinito» pasa casi todo el tiempo en estados con entropía próxima al valor m áxi­ mo,

Smáxlmi¡,

esto es, en el estado de equilibrio. H ay fluctuaciones aleatorias del sistema fuera del equilibrio. Cuanto mayor sea la fluctuación de un sistema a partir del equilibrio, con menor frecuencia se dará. L a imagen es simétrica en el tiempo. Si encontramos un sistema lejos del equilibrio, deberíamos esperar que en el futuro se encontrase más cerca del equilibrio. Pero también deberíamos inferir que en el pasa­ do estuvo asimismo más cerca del equilibrio.

es igualmente probable, en virtud de algún principio de indiferencia o simetría, ¿no podríamos concebir el equilibrio como el estado «osten­ siblemente más probable» del sistema?

Deberíamos entonces pensar en la situación como sigue: Un siste­ ma dado, observado durante todo el tiempo y perpetuamente aislado, pasará casi todo el tiempo en o cerca del equilibrio. Se darán desvia­ ciones del equilibrio, pero cuanto mayor sea la desviación, menor será su ocurrencia. La situación será simétrica en el tiempo, con transicio­ nes desde el no equilibrio al equilibrio, y viceversa, con igual frecuen­ cia. Todavía se cumplirá, sin embargo, que casi todo estado lejos del equilibrio estará seguido por estados mucho más próximos al equili­ brio, como establece la ecuación de Boltzmann. (Véase la figura 3.3.)

No es posible, empero, considerar que la ecuación de Boltzmann da la evolución más probable de un sistema en un tiempo infinito, porque esto entraría en conflicto con la recurrencia. Antes bien, la si­ tuación debería verse de la siguiente forma: Tomemos una gran colec­ ción de sistemas que parten todos de un estado de no equilibrio en un momento dado determinado. Examinémoslos en intervalos discre­ tos de tiempo, observando en cada intervalo de tiempo el estado del sistema que puede ser obtenido por la mayoría dominante de siste­ mas. Dibujemos una curva a través de esos estados evolventes «más probables».

Esa

curva, la «curva de concentración» de la evolución de la colección, obedecerá la ecuación de Boltzmann. Prácticamente todos los sistemas se apartarán en algún momento del equilibrio, pero estos excursos serán incoherentes, produciéndose en momentos dife­

Smax

Si

Fig u r a 3.4.

La «curva de concentración» de una colección de sistemas.

Sé considera una colección de sistemas cuyos miembros tienen cada uno una entropía

S¡

en el tiempo 1. Los sistemas evolucionan de acuerdo con sus microestados particulares de partida en el tiempo inicial. E n tiempos posteriores, 2, 3, 4, 5, 6... la colección se examina de nuevo. E n cada tiempo una considerable mayoría de los sistemas tienen entropías en o cerca de los valores

Sp

-Vj,

S„ 5^, ... ,

que están señalados sobre la «curva de concentración». Esta curva puede aproximarse monótonamente al valor de equilibrio

Smx,

aun cuando casi todos los sistemas, individualmente, se aproximen y se aparten de la condición de equilibrio en la manera ilustrada en la figura 3.3.

rentes para los diferentes sistemas. Después de un largo tiempo, casi todos los sistemas se encontrarán en cualquier instante dado cerca del equilibrio, tal como exige la ecuación de Boltzmann bajo esta nueva interpretación. Así pues, esta interpretación probabilística de la ecua­ ción de Boltzmann es consistente con los resultados de la recurrencia. (Véase la figura 3.4.)

Pero necesitamos ir más lejos en nuestra reflexión. Si, como sugie­ re esta nueva interpretación, el equilibrio es la condición «ostensible­ mente más probable» de un sistema, ¿porqué se encuentra el mundo en el que vivimos tan inmensamente lejos del equilibrio? Boltzmann ofrece una serie de argumentos para soslayar esto. Primero, dice, el universo es muy extenso en el espacio y en el tiempo. Podemos pos­ tular, pues, que la región accesible a nuestra observación es muy pe­ queña. Recordemos que este trabajo se estaba llevando a cabo en los años ochenta del siglo XIX y que la existencia de galaxias fuera de la Vía Láctea no se estableció hasta algún tiempo después. Ahora bien, esperamos que partes pequeñas de sistemas grandes estén, durante pequeños lapsos de tiempo, en estados lejos del equilibrio. Así, pode­ mos entender el no equilibrio prevalente que experimentamos como una «fluctuación local» en torno a una situación de equilibrio preva­ lente.

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Filosofía de la física A continuación podríamos preguntar cómo es que nosotros nos encontramos en una parte tan singular del universo en lugar de en la región dominante de equilibrio espacio-temporal. Aquí la respuesta hace referencia a un tipo especial de sesgo observacional. Para que pueda haber organismos sostenidos, complejos (como nosotros mis­ mos), capaces de realizar observaciones, debe haber flujos de energía. Solamente éstos pueden contrarrestar el proceso normal de equilibrio y mantener operando a un organismo activo sumamente estructurado como es una forma de vida. Pero tal flujo de energía presupone una situación de no equilibrio. Así pues, si ha de haber observadores, éstos deben de encontrarse en las partes pequeñas, desviadas, en no equilibrio del universo.

Ahora bien, es ostensiblemente probable que dicha parte del uni­ verso que se encuentra fuera del equilibrio sea una que esté todavía más lejos del equilibrio en una dirección temporal y más cerca en la otra. Estas son mucho más corrientes que los raros casos extremos de partes del universo que son puntos de retorno donde la región está más cerca del equilibrio en ambas direcciones temporales, y aun más probables relativamente que los casos extraordinariamente raros de un estado lejos del equilibrio flanqueado en ambas direcciones tem­ porales por estados todavía más lejos del equilibrio.

Pero, ¿porqué, en nuestra parte del universo, habríamos de hallar a los estados más próximos al equilibrio en la dirección

futura

del tiempo y no en la dirección pasada del tiempo? ¿No son las dos op­ ciones igualmente probables? En este punto, Boltzmann sostiene que lo que

entendemos

por dirección futura del tiempo es la dirección del tiempo en la que aumenta la entropía local, es decir, la dirección del tiempo en la que nuestro trozo local de universo se está aproximando al equilibrio. Sostiene que la dirección del tiempo que se toma como futuro será, probablemente, opuesta en regiones separadas del univer­ so en las que el proceso hacia el equilibrio se da en direcciones tem­ porales opuestas. Esto es como el «abajo» para alguien situado en nuestras antípodas sobre la tierra, que se encuentra en la dirección es­ pacial opuesta a nuestro «abajo». Y, dice, en la parte en equilibrio prevalente del universo, no habrá distinción entre pasado y futuro, aunque todavía habrá, por supuesto, dos direcciones opuestas del tiempo. La analogía ahora se establece con el espacio vacío, donde todavía existen todas las direcciones espaciales, pero donde ninguna de ellas es «abajo» al no existir una dirección local de la fuerza gravi-

tacional. Examinaremos críticamente estas brillantes ideas boltzman- nianas brevemente.

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