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Examinemos primero el caso de la teoría del equilibrio. Como indi­ camos anteriormente, el procedimiento estándar para calcular los va­ lores de equilibrio de cantidades observables consistía en identificar esas cantidades con los valores medios de ciertas funciones del estado microscópico del sistema. El valor medio se calcula utilizando la distribución de probabilidades estándar. La «imagen» de Boltz­ mann de la justificación de este procedimiento era que el sistema ais­ lado se encontraría en casi todo momento en o cerca del equilibrio. Dado que la medida de probabilidad estándar podía interpretarse en el sentido de indicar la proporción de tiempo que un sistema pasa con su. microestado en una región determinada de condiciones, y da­ do que, además, los estados ostensiblemente más probables prevale­ cían absolutamente sobre los otros, de manera que los valores me­ dios podían ser identificados con los valores más probables, el valor medio de una cantidad, calculado según la medida de probabilidad estándar, sería igual a su valor ostensiblemente más probable. Éste sería entonces su valor de equilibrio. Según indicamos, se logró dar una justificación de estas afirmaciones utilizando la Hipótesis Ergódi-

ca — que el microestado de cualquier sistema pasaría por todos y ca­ da uno de los microestados posibles en algún momento de su evolu­ ción— . Pero la Hipótesis Ergódica era presumiblemente falsa. ¿Po­ dría encontrarse algo que poner en su lugar?

Se probó un teorema en el sentido de que si un sistema satisfacía una cierta ligadura determinada (esencialmente, la ausencia de cual­ quier constante de movimiento «global» que no fuesen las utilizadas para especificar el sistema), los promedios de fase para cantidades, calculados utilizando la medida estándar, serían iguales a los prome­ dios temporales de esas cantidades, al menos para la mayoría de los sistemas. Esto es, excepto para un conjunto de sistemas con una pro­ babilidad de tamaño cero en la medida estándar, el promedio sobre un tiempo infinito de una cantidad para un sistema dado a medida que los sistemas evolucionaban sería igual al promedio de esa canti­ dad tomado sobre todos los sistemas en un mismo instante, utilizan­ do la medida de probabilidad estándar para especificar el número de sistemas con sus microestados en un dominio dado de dichos mi­ croestados. Si esta condición se cumpliese, uno podría probar que, para «casi todos» los sistemas, el tiempo pasado por el sistema en un dominio de microestados determinado (en el límite de tiempo ten­ diendo a infinito) sería igual a la probabilidad de ese dominio de m i­ croestados en la medida de probabilidad estándar. Así pues, podría derivarse una cierta «ley de los grandes números», a saber, que en el límite de tiempo infinito, las proporciones

temporales

eran iguales a probabilidades, aun cuando, en este caso,

no

estuviésemos tratando con series probabilísticamente independientes sino, antes bien, con una evolución determinista. Y uno podría probar, si la condición se cumpliese, que la única medida de probabilidad que (1) era invarian­ te en el tiempo y (2) asignaba una probabilidad cero a las clases de microestados que tenían probabilidad cero en la medida estándar, era la propia medida estándar. Estos resultados se aproximan a los obtenidos utilizando la falsa Hipótesis Ergódica. (Véase figura 3.6.)

Pero ¿satisfacen los sistemas interesantes alguna vez la condición en cuestión? Primero se encuentra una condición dinámica para que un sistema sea ergódico (es decir, para que satisfaga la condición del teorema esbozado). Se trata de una condición sobre la inestabilidad de los caminos de evolución de los sistemas en sus descripciones m i­ croscópicas y, esencialmente, exige que para cada microestado haya microestados próximos tales que la evolución de los sistemas a partir

184 Filosofía de la física

Fig u r a 3.6.

El teorema ergódico.

Sea un sistema que parte de un microestado,

a.

Sea

R

una región cualquiera de microestados posibles del sistema dadas sus ligaduras. D i­ chas ligaduras podrían ser una especificación, por ejemplo, de la energía total del gas. Supongamos que

R

tiene un tamaño definido, distinto de cero, en el espacio de fases. Entonces, cuando un sistema es ergódico, sucederá que, excepto posiblemente para un conjunto de microestados iniciales de tamaño cero, la trayectoria desde el mi­ croestado inicial

a

pasará en algún momento por la región

R.

de ellos diverja de la evolución del sistema dado muy rápidamente. Después se demuestra cómo ciertos modelos de sistemas satisfacen esta condición dinámica y, por lo tanto, son sistemas ergódicos. En particular, el sistema formado por «esferas rígidas en una caja» es uno de tales sistemas ergódicos. Las partículas deben interaccionar sólo instantáneamente por colisiones entre sí y con las paredes de la caja, y las colisiones deben ser perfectamente elásticas. Perfectamente elásticas significa que no se absorbe o se emite energía alguna en las colisiones. Como este modelo es uno de los modelos estándar adop­ tado para los gases ideales, parece que hemos encontrado un tipo de justificación de la teoría del equilibrio utilizando solamente la estruc­

tura del sistema y las leyes de la dinámica que gobiernan los micro- componentes.

Estos resultados son impresionantes. Pero debemos ser cautelo­ sos. Para empezar, está el problema del «conjunto de medida cero». Con la ayuda de los resultados ergódicos podemos demostrar que, excepto para un conjunto inicial de condiciones iniciales de probabi­ lidad cero en la medida de probabilidad estándar, todo sistema pre­ sentará promedios temporales de sus cantidades iguales a los valores medios calculados utilizando la probabilidad estándar. Pero, ¿por qué suponer que, sólo porque un conjunto tenga probabilidad cero en la medida estándar, es muy poco probable que un sistemé en el mundo tenga una condición inicial semejante? Nuevamente, pode­ mos demostrar que de todas las distribuciones de probabilidad que asignan probabilidad cero a aquellos conjuntos con probabilidad cero en la distribución de probabilidades estándar, sólo la distribu­ ción de probabilidades estándar es constante en el tiempo. Pero, ¿por qué restringir nuestra atención justamente a esas distribuciones de probabilidad que «ignoran» (es decir, dan probabilidad cero a) los conjuntos que tienen probabilidad cero en la medida estándar? Es como si hubiésemos reemplazado nuestro postulado probabilístico original, según el cual la medida de probabilidad estándar da la pro­ babilidad correcta, por una suposición de probabilidad autónoma, más débil, pero aún no trivial, a saber, que los miembros del conjun­ to de condiciones iniciales que tiene probabilidad cero en la medida estándar pueden ser ignorados. Estamos suponiendo que podemos esperar con «certeza probabilística» que éstos no ocurrirán.

Otro importante problema se deriva del hecho de que, si bien las condiciones necesarias para que el Teorema Ergódico sea válido son probablemente ciertas para tales sistemas idealizados como el de las esferas rígidas en una caja, probablemente no lo sean para sistemas más realistas. Las moléculas en un gas no son esferas rígidas perfectas que permanecen sin interaccionar unas con las otras o con las pare­ des del contenedor hasta que se produce la colisión. En lugar de ello, se da una interacción suave y gradual de las moléculas entre sí y de las moléculas con las paredes, una interacción que varía con la sepa­ ración de los componentes interactivos. En mecánica hay otro teore­ ma, el Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser (o KAM), el cual nos dice que en ciertos casos determinados habrá regiones en el espacio de fases cuya medida es distinta de cero y tales que el estado de todo

186 Filosofía de la física

Fig u r a .3.7.

El teorema KAM.

La curva cerrada,

S,

representa un sistema que parte

de un estado inicial dado, pasa a través de una serie de estados intermedios y regresa después a su estado inicial exacto, repitiendo el proceso

ad infinitum.

U n ejemplo po­ dría ser un planeta que, imperturbado, repite una órbita cerrada indefinidamente. E l teorema K A M dice que para sistemas que satisfacen sus requisitos, una perturbación suficientemente pequeña del sistema (digamos, del planeta por el tirón gravitacional de otro planeta) producirá una órbita que, aunque ya no será cerrada, estará confina­ da a una región finita (indicada por el tubo

Tí

circunscribiendo (en el espacio de fa­ ses) la curva inicial

S.

U n sistema semejante no puede entonces ser ergódico y «vagar» por todo el espacio de fases disponible.

sistema cuyas condiciones iniciales estén en dicha región permanece­ rá en la misma durante todo el tiempo. Estos sistemas poseen una es­ tabilidad que les impide transitar por todos los lugares de la región de microestados permitida, tal como requiere la ergodicidad. Aunque no podemos (en general) probar que los sistemas realistas tengan la condición necesaria para que se cumpla el Teorema KAM , es muy plausible que lo hagan. Así pues, las idealizaciones más realistas de un sistema no satisfarían las condiciones para la ergodicidad. (Véase la figura 3.7.)

Lo que uno desearía demostrar en estos casos sería algo más mo­ desto que la ergodicidad. Uno utilizaría el hecho de que los sistemas reales de los que nos ocupamos están constituidos por un vasto nú­ mero de microcomponentes tales como moléculas. Esto no se toma en cuenta en absoluto en los resultados ergódicos. Después uno in­

tentaría demostrar que, para tales sistemas, la región de las trayecto­ rias estables, requerida por el Teorema KAM, se hace muy pequeña en la medida de probabilidad natural a medida que crece el número de componentes en el sistema. Efectivamente, los modelos de orde­ nador parecen demostrar que esto es cierto. La región restante de inestabilidad no tendría por qué ser tan caótica como la región ines­ table del sistema ergódico. Pero, aun cuando no se pudiera probar la validez de la ergodicidad en la región de fases como un todo, ni si­ quiera en la región de inestabilidad dominante, quizá uno pudiera demostrar que en esta región se daba un

tipo

de inestabilidad. Esta región constaría de la inmensa mayoría de los estados iniciales si se medía en la forma natural. Esto sería suficiente para obtener algo pa­ recido a los resultados de Boltzmann. Es decir, sería suficiente para garantizar que el comportamiento a largo plazo de las trayectorias que hubieran arrancado de esta región podía ser modelado por las probabilidades estándar. La exploración de posibilidades como ésta es un proyecto de investigación en curso en los fundamentos de la mecánica estadística. Sin embargo, aun cuando se obtuvieran dichos resultados, su aplicación requeriría la suposición de que las regiones pequeñas de estabilidad en la medida de probabilidad natural fueran realmente «pequeñas» en el mundo. Necesitaríamos demostrar que es poco probable físicamente encontrar un sistema con su microesta- do en una tal región de estabilidad. Esto no sería derivable de la di­ námica subyacente.

Finalmente, deberíamos de reparar en la estructura de las expli­ caciones estadísticas ofrecida por esta teoría del equilibrio. ¿Cómo son

explicadas

probabilísticamente las características de equilibrio de los sistemas por esta teoría? No se demuestra que éstas son las carac­ terísticas de los sistemas que encontramos con gran probabilidad en el mundo. De hecho, si esto se llegase a demostrar, nos encontraría­ mos con un problema, pues, como sabemos, existe una alta probabi­ lidad de que encontremos sistemas en el mundo que

no

están en equilibrio. La teoría tampoco muestra en forma alguna que las ca­ racterísticas del equilibrio sean más probables de lo que hubiése­ mos esperado por la evidencia de fondo. Y tampoco aporta un tipo de explicación estadístico-causal del equilibrio. No deriva el equili­ brio de algunas propensiones causales tiquistas, ni deriva su probabi­ lidad de una distribución probabilística sobre condiciones iniciales causales. Dicha explicación probabilístico-causal, si es que puede

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darse en modo alguno, estará en el origen de la teoría mecánico-esta- dística del no equilibrio y de la aproximación al equilibrio. Volvere­ mos sobre esto en un momento.

En lugar de ello, la teoría nos permite comprender las caracterís­ ticas de equilibrio de los sistemas en virtud de su demostración de que bajo las condiciones adecuadas las características que se dan en los sistemas cuando se observa que están en equilibrio son justamen­ te esas características que dominan el comportamiento de un sistema a lo largo de un tiempo infinito idealizado. Una vez más, como he­ mos indicado, sólo el lograr establecer esto requiere una gran dosis de idealización. La legitimidad de la idealización es una cuestión con­ trovertida. Pero el modelo de explicación es ciertamente interesante. Una característica macroscópica es identificada con el promedio de la cantidad microscópica correspondiente utilizando una distribución de probabilidades natural. La distribución de probabilidades está jus­ tificada, demostrándose que es la única distribución estacionaria que asigna probabilidad cero a las regiones que tienen probabilidad cero en esa misma medida natural. El tiempo pasado en regiones de estados microscópicos en el límite infinito se demuestra que es equi­ valente al tamaño de la región según dicha medida natural. Y, con el enorme número de componentes microscópicos introducido, puede demostrarse que los promedios de las cantidades son equivalentes a los valores ostensiblemente más probables, y éstos equivalentes a los valores estándar en el equilibrio. Finalmente, y de gran importancia, es la medida en que se puede dotar de un fundamento firme a la na­ turalidad de la medida de probabilidad. Puede demostrarse, por lo que se refiere a todos los requisitos que hemos indicado, que es la medida de probabilidad «correcta». La demostración utiliza solamen­ te la estructura del sistema y las leyes de la dinámica. En alguna me­ dida, al menos, se ha reducido la necesidad de postular la medida de probabilidad natural como una parte autónoma y fundamental de la teoría. Como veremos, sin embargo, las cosas no son tan simples cuando lo que está en juego es el no equilibrio.

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