Este modelo tiene implícitos ciertos supuestos, algunos de los cuales son obvios mientras que otros no tanto. De todas maneras es importante tenerlos presente al momento de analizar un problema. Ellos son:
✓ Un único objetivo que está sujeto a restricciones, y a las restricciones de no negatividad de las variables.
✓ Aditividad, lo que implica que las contribuciones de los productos individuales son aditivas.
✓ Proporcionalidad, esto es, que tanto la función objetivo como las restricciones deben ser proporcionales al nivel de las variables.
✓ Divisibilidad, es decir que las variables deben ser divisibles a cualquier nivel fraccionario.
✓ Certidumbre, lo que supone que los parámetros del modelo se conocen con certeza.
3.
M
ÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER PROGRAMAS LINEALESNos interesa ahora resolver nuestro problema, es decir poder indicarle al decisor cuántos metros cuadrados de cada cerámico deberá producir mensualmente para maximizar su beneficio.
Resolver un programa lineal significa encontrar un conjunto de valores para las variables de decisión que cumpliendo con todas las restricciones – incluidas las de no negatividad-, optimicen a la función objetivo. De acuerdo a lo anterior y como el modelo tiene sólo dos variables de decisión (x1 y x2), para solucionar el problema de la fábrica de
cerámicos podemos utilizar el método gráfico.
Para identificar la solución óptima, debemos encontrar primero el conjunto de todos los valores de x1 y x2 que son solución del sistema de
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inecuaciones de restricción, y luego de todos ellos identificar cuál optimiza a la función z. Lo hacemos de la siguiente manera:
1.- Encontramos el conjunto de puntos que es solución de la primera restricción. Para hacer esto dibujamos la recta representativa de la igualdad 5x1+5x2 = 300 y a continuación verificamos cuál es el
semiplano que cumple con la restricción2.
Siempre debemos tener en cuenta que las restricciones de no negatividad ubican el gráfico en el primer cuadrante.
Gráfico 1
2.- A continuación identificamos el conjunto de puntos que es solución de las dos primeras restricciones, para ello introducimos en el gráfico a la restricción: 4x1 + 8x2 400, verificamos cuál es el semiplano que es
solución de esta restricción y luego identificamos el conjunto de puntos solución de ambas restricciones. Hacemos lo mismo hasta incluir a todas las restricciones.
Gráfico 2
Gráfico 3
3.- Una vez encontrado el conjunto solución o región factible, para identificar la solución óptima, debemos graficar la función z.
2 Esto se logra reemplazando en la inecuación a x
1 y x2 por las coordenadas de un punto,
como por ejemplo el (0, 0).
0 5 101520253035404550556065707580 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 5 x1 + 5 x2 300 x2 x1 0 5 1015 20 2530 35 4045 50 5560 65 7075 80 8590 95 100 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 x1 5 x1 + 5 x2 300 4 x1 + 8 x2 400 x1 x2
Para nuestro problema, z = 8 x1 + 6 x2, siendo la forma explícita de la
ecuación de esta recta:
= −
2 1
z 8
x x
6 6
Observe que esta ecuación define a una “familia” de rectas paralelas y que a medida que se incrementa el valor de z (contribución total en este caso), se obtienen rectas paralelas cada vez más alejadas del origen. Esto nos permite afirmar que, el sentido de optimidad en el desplazamiento de z, será alejándola del origen y como consecuencia, el punto de mayor utilidades será el último punto de contacto entre z y el polígono de soluciones.
Note que no se habla del punto más alejado del origen, ya que esto involucra el concepto de distancia al origen, el cual no es acertado en este caso.
Para identificar este punto, se debe introducir la recta z en el gráfico. Luego, la desplazamos en su sentido de optimidad.
Gráfico 4
Gráfico 5
Vemos que el punto óptimo se forma con la intersección de las restricciones de horas de mano de obra y de horas de cocción. Para encontrar la solución óptima, se debe resolver el sistema de ecuaciones:
6 x1 + 4 x2 = 320 5 x1 + 5 x2 = 300 Analice cuál es el sentido de optimidad si el objetivo fuera: max z = 8x1– 6x2 Es aconsejable, darle a z un valor arbitrario para poder dibujarla.
PROGRAMACIÓN LINEAL 59
Solución Óptima:
x1 = 40 m2
x2 = 20 m2
Valor de la Función objetivo en el óptimo: Z = $ 440 Hrs. Requeridas para x1= 40 m2 y x2= 20 m2 Horas disponibles Horas no utilizadas Tipo de restricción HMO 5(40) + 5(20) = 300 300 0 Limitante Hrs. Secado 4(40) + 8(20) = 320 400 80 No limitante Hrs. Cocción 6(40) + 4(20) = 320 320 0 Limitante Tabla 2
En la tabla anterior podemos observar que existen 80 horas de secado que no han sido utilizadas (S2 = 80) en tanto que para las horas de
mano de obra y de cocción se utilizaron todos los recursos.
En definitiva, la respuesta que podemos darle al responsable de la empresa es que, para obtener la máxima contribución total a las utilidades que será de $ 440.- debe fabricar 40 unidades del Producto I y 20 unidades del Producto II. Siguiendo este plan de producción utilizará todas las horas de mano de obra y todos los materiales disponibles, quedando sin usar 80 horas máquina.
Resumen de los pasos en la aplicación del Método gráfico:
1. Identificar el conjunto de soluciones posibles del problema o región factible.
2. Trazar la recta representativa de la función objetivo.
3. Desplazar la recta en el sentido de optimización hasta identificar el último punto de contacto entre la recta y la región factible. Este punto es la solución óptima y corresponde a un vértice del polígono de soluciones.
4. Encontrar los valores de las variables que optimizan la función objetivo, resolviendo en forma simultánea las ecuaciones de restricción que determinan el punto óptimo.
5. Encontrar los valores de las variables de holgura/excedente, reemplazando los valores de las variables de decisión en cada una de las ecuaciones de restricción.
6. Encontrar el valor de Z reemplazando los valores de las variables en la función objetivo.
En los casos en que el problema tiene más de tres variables de decisión es imposible utilizar el método gráfico. Esto resulta una gran limitación, ya que los problemas reales tienen gran cantidad de variables y restricciones. Afortunadamente, existe un método algebraico para resolver programas lineales que se llama Método Simplex, el cual veremos en detalle más adelante.