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Unidad 1 Números reales

A medida que vamos aumentando nuestros conocimientos y nos planteamos preguntas más complejas, nos damos cuenta de que el concepto natural de número, como cantidad de elementos de un conjunto, es insuficiente. En los cursos anteriores ya hemos resuelto el problema de hallar la incógnita x en igualdades de la forma 8 + x = 2 o 5x = 2, pero nos surgen nuevos retos para responder a preguntas como “¿Hay algún cuadrado de área 2?”. Nuestra lógica nos dice que si hay cuadrados de área 1 y de área 4, y podemos ir ampliando progresivamente el lado del cuadrado desde 1 hasta 2, en algún momento obtendremos un cuadrado de área 2. Pero ¿cuánto mide su lado? Gráficamente se puede obtener, trazando la diagonal del cuadrado de lado 1, pero ¿cómo expresar su medida?

Ya los grandes matemáticos griegos se dieron cuenta de la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado tomando como unidad el lado, o de la longitud de la circunferencia de radio la unidad.

En este curso, el estudio de los números reales se centra en la caracterización de los radicales y los logaritmos, así como en las operaciones básicas asociadas con ellos. Será en los próximos cursos cuando se amplíe el concepto de número real a otros ámbitos, pero por el momento nuestro interés se centrará en el correcto manejo, con o sin calculadora, de los números reales y de sus operaciones.

Para resolver estos y otros problemas ha sido preciso ir ampliando el concepto de número, y así han ido surgiendo los enteros, los racionales, los irracionales, los reales, los complejos, e incluso en 1843, el irlandés William Rowan Hamilton amplió el conjunto de los complejos y construyó el conjunto de los cuaterniones, de aplicación en teoría de números, electromagnetismo, física cuántica, etc.

OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN COMPETENCIAS BÁSICAS

1. Comprender la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales con los irracionales, así como su expresión en forma decimal, y cuantificar el error que se comete al utilizar

aproximaciones y redondeos, tanto en la utilización de la calculadora como en el cálculo manual.

1.1. Hallar la expresión decimal de los números racionales.

 Matemática

 Interacción con el mundo físico

 Social y ciudadana  Cultural y artística

 Tratamiento de la información y competencia digital

1.2. Utilizar y representar los números reales.

1.3. Evaluar los errores que se cometen con las aproximaciones decimales de los números reales.

2. Entender los conceptos de potencias de exponente

fraccionario y entero, y el logaritmo de un número real; conocer sus propiedades y operar con ellos, tanto de manera exacta como utilizando aproximaciones con números decimales.

2.1. Interpretar y operar con potencias de exponente entero.

2.2. Interpretar y operar con potencias de exponente fraccionario y con

radicales.

2.3. Aplicar la definición de logaritmo de un número y las propiedades de los logaritmos para resolver problemas.

■ Contenidos

 Expresión decimal de los números racionales e irracionales

 Los números reales. La recta real

 Valor absoluto. Intervalos, semirrectas y entornos  Potencias de exponente negativo. Notación

científica  Radicales

 Potencias de exponente racional  Operaciones con radicales

 Racionalización de denominadores  Logaritmo de un número real

 Propiedades y operaciones con logaritmos  Interés compuesto

 Expresar números racionales en forma decimal  Expresar números reales mediante

aproximaciones decimales y determinar o acotar el error

 Representar en la recta real números e intervalos  Operar con potencias de exponente negativo  Expresar cantidades mediante notación científica

y realizar operaciones con ellas  Operar con radicales

 Racionalizar denominadores.

 Transformar y operar expresiones con logaritmos  Resolver problemas de interés compuesto

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■ Orientaciones metodológicas

1. Conocimientos previos

Aunque se repasan algunos conceptos, es básico que los alumnos realicen con soltura las operaciones con números racionales, incluyendo las potencias y las reglas de jerarquía, así como el concepto de raíz y su relación con las potencias.

Para las representaciones de números reales es necesario que recuerden los procedimientos básicos de utilización de la escuadra, el cartabón y el compás.

2. Previsión de dificultades

El concepto de logaritmo es, de largo, el más difícil de toda la unidad. Los alumnos suelen tener problemas en aplicar correctamente su definición y sus propiedades.

3. Vinculación con otras áreas

Los números reales y sus operaciones aparecen en prácticamente todas las áreas de conocimiento y de la vida cotidiana. Cabe destacar cómo algunos de los problemas de aplicación de los logaritmos sirven como muestras magníficas de la importancia de esta herramienta en campos como la sismología, la química, la física o la economía. En este último caso hay que remarcar que el epígrafe final de la unidad se dedica por completo al estudio del interés compuesto.

4. Esquema general de la unidad

La unidad comienza con el repaso de las expresiones decimal y fraccionaria de un número racional. De aquí se pasa a caracterizar los números irracionales y a definir los reales.

La utilización de las aproximaciones y la estimación de los errores cometidos es el siguiente paso en el desarrollo, seguido de la definición de recta real y de la explicación de cómo representar en ella los diferentes números reales tanto individualmente como en conjuntos definidos por intervalos, semirrectas y entornos.

Posteriormente se repasan las potencias de exponente negativo y la notación científica, para abordar después el estudio de los radicales: su definición y propiedades, su identificación con las potencias de exponente fraccionario y las operaciones planteadas tanto en forma radical como en forma de potencias.

La unidad termina con la introducción del concepto de logaritmo, su relación con la función exponencial y sus propiedades. El estudio del interés compuesto se da como un ejemplo en donde el uso de los logaritmos se hace imprescindible.

5. Temporalización

Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones:

1.ª Introducción: desarrolla tus competencias

2.ª Números reales. Aproximaciones de números reales. La recta real. Valor absoluto. Intervalos 3.ª Potencias de exponente entero. Notación científica. Radicales. Potencias de exponente fraccionario 4.ª Operaciones con radicales. Racionalización

5.ª Logaritmos. Propiedades. Aplicaciones de los logaritmos. Interés compuesto 6.ª Actividades de repaso y consolidación

7.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad

NÚMEROS REALES